¿Por qué estudiar los espacios métricos?

Question

La mayoría de las universidades tienen un curso de análisis de tercer año en el que se estudian en profundidad los espacios métricos (compacidad, completitud, conectividad, etc.). Sin embargo, en la práctica parece que la mayoría de estos espacios métricos son espacios vectoriales normados. ¿Por qué no cubrir simplemente los espacios vectoriales normados en lugar de los espacios métricos?

Aunque perdamos algo de generalidad, los espacios vectoriales normados parecen más naturales e interesantes, en mi opinión, al menos.

Answer 1

En un comentario escribes que los espacios métricos "no aparecen mucho en la práctica". Esto no es cierto (aunque puede reflejar las matemáticas que has visto hasta ahora).

Los espacios métricos (y, más en general, los espacios topológicos) aparecen por todas partes. Yo soy un teórico de los números que trabaja, y utilizo los conceptos de topología (en todo tipo de contextos, a veces en el contexto de espacios vectoriales o anillos o grupos, a veces en contextos muy no lineales) todo el tiempo. Los geómetras y los topólogos los utilizan aún con más frecuencia (quizá no sea sorprendente).

El lenguaje y los resultados básicos de la topología (conjuntos abiertos y cerrados, continuidad, conectividad, compacidad) son algunos de los conceptos más flexibles y útiles de las matemáticas.

Añadido: En mi respuesta he tendido a confundir los espacios métricos y los espacios topológicos generales, pero quizás en tu pregunta quieras distinguirlos. (Tal vez te preguntes de dónde surgen métricas particulares que no son inducidas por espacios normados).

En la medida en que la geometría consiste en estudiar longitudes, ángulos y conceptos relacionados, como la curvatura, es una materia que gira en torno a los espacios métricos, y en la geometría moderna, la topología geométrica, la teoría de grupos geométricos y otros temas relacionados, muchas técnicas utilizan la métrica como estructura básica.

Por ejemplo Límites de Gromov--Hausdorff .

Por ejemplo, el enfoque del espacio métrico para conceptos como la curvatura, que lleva, por ejemplo, a Espacios CAT-0 .

Por ejemplo, se podría pensar que la geometría riemanniana es más analítica que basada en la combinatoria/espacio métrico, debido al papel de la topología diferencial en los fundamentos. Pero las nociones de espacio métrico (como los dos ejemplos anteriores) son fundamentales en aspectos modernos de la teoría, como rigidez .

Answer 2

Los espacios métricos son mucho más generales que los espacios normados. La estructura métrica de un espacio normado es muy especial y posee muchas propiedades que los espacios métricos generales no tienen necesariamente.

Los espacios métricos son también una especie de puente entre el análisis real y la topología general. A cada espacio métrico se le asocia una topología que capta precisamente la noción de continuidad para la métrica dada. Esto significa que muchas propiedades topológicas pueden entenderse en el contexto de los espacios métricos, abarcando muchos ejemplos de diversos grados de complejidad, sin dejar de tener una noción de distancia. La noción de distancia suele considerarse mucho menos abstracta que la de topología, y muchas de las pruebas son simplemente una reformulación de las pruebas estándar del análisis real. De hecho, algo menos conocido es que una generalización natural de los espacios métricos (es decir, permitir que la métrica alcance valores no sólo en el rango $[0,\infty]$ sino en lo que se conoce como un quantale de valor) es tan general como los espacios topológicos. Es decir, todo espacio topológico surge como topología asociada a alguna estructura métrica en ese sentido.

Además, muchas universidades son algo reticentes a introducir nociones abstractas desde el principio y, por tanto, aunque los límites en el análisis real pueden enseñarse como casos especiales del análisis métrico, y por tanto introducir los espacios métricos en el primer año, las universidades suelen optar por posponer los espacios métricos. Sin embargo, no siempre es así, ya que tuve la oportunidad de enseñar espacios métricos en un curso de primer año (en la Universidad de Utrecht).

Por lo tanto, se trata en gran medida de una cuestión de tradición y ciertamente varía entre las universidades. Como suele ocurrir, los planes de estudios universitarios suelen seguir la evolución histórica y tienden a adaptarse y cambiar con bastante lentitud. Los espacios métricos fueron introducidos en 1906 por Frechet y, por tanto, son bastante más recientes que los principales objetos de estudio tradicionales, como $\mathbb R$ y varios espacios funcionales. Esto puede explicar por qué estos últimos se suelen enseñar primero.

Answer 3

Los espacios métricos son más generales que los espacios normados, porque no necesitan ser espacios vectoriales. Son más fáciles que los espacios topológicos generales, pero introducen todos los conceptos relevantes.