Retroceso de un vector que representa una 2 forma en $\mathbb R^3$

Question

Dejemos que $\omega$ ser un $2$ -forma definida en $\mathbb R^3$ . Sé que puede ser representado por un campo vectorial $\xi$ de tal manera: $$ \omega_x (v,w) = \xi(x)\cdot (v\times w) $$ ( $x,v,w \in \mathbb R^3$ y $\times$ es el producto vectorial). Y sé que el diferencial se convierte en la divergencia: $$ d \omega = (\nabla\cdot \xi)\ dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3. $$

Ahora bien, si $T\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ es un cambio de variables, sé que $$ d(T^*\omega) = T^* (d\omega). $$

Me gustaría demostrar la igualdad correspondiente para campos vectoriales (sin pasar a formas). He podido hacer el cálculo correspondiente para $1$ -(y no era trivial), pero estoy atascado con $2$ -formas.

Lo que he descubierto es que si $\omega$ corresponde a $\xi$ como en el caso anterior, entonces $$ T^* \omega(v,w) = \omega(DTv,DTw) = \xi \cdot(DTv\times DTw) = (\det DT) (DT)^{-1}\xi\cdot(v\times w) $$ por lo que el campo vectorial que representa $T^*\omega$ es $$ \xi^* = (\det DT)(DT)^{-1}\xi = \mathrm{adj}(DT) \xi. $$ Ahora me gustaría demostrar que $$ \nabla \cdot \xi^* = (\det DT)\ \nabla \cdot \xi $$ que debería ser el cambio de variables correcto. Pero no tengo ni idea de cómo trabajar en esto...

Answer 1

Divergencia de un campo vectorial $Y_p$ muestra en qué medida la forma de volumen $\mu$ (o elementos de volumen infinitesimal) cambia a lo largo del flujo: $$ (\operatorname{div} Y)\mu=\mathcal{L}_Y(\mu)=d(Y\lrcorner\mu), $$ donde también utilicé la fórmula mágica de Cartan. El producto interior es el $(n-1)$ -forma $$[Y\lrcorner\mu](Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n-1})=\mu(Y, Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n-1}). $$ Las dos expresiones para la forma de la divergencia nos ayudarán a tirar de ella a lo largo de un mapa dado, o cambio de coordenadas, $\phi$ . Ahora vemos el vector (campo) Y como resultado del pushforward por la derivada del mapa $Y_{\phi(p)}=\phi_*(X_p)$ . El pullback de la forma de volumen muestra el determinante esperado de la matriz jacobiana, $f=det(\phi_*)$ , $$ \phi^*\mu=f\nu $$ -- este es otro factor que puede causar la forma del volumen $\nu$ cambiar. El tirón de la forma del producto interior es $$ \phi^*(Y\lrcorner\mu)=X\lrcorner \phi^*\mu=X\lrcorner (f\nu). $$ El pullback conmuta con la derivada exterior, por lo que $$ \phi^*d(Y\lrcorner\mu)=d(\phi^*(Y\lrcorner\mu))=d(X\lrcorner f\nu)=\mathcal{L}_X(f\nu), $$ donde hemos vuelto a utilizar la fórmula de Cartan.

Ahora utilizaremos las propiedades de Derivada de la mentira y la atiderivación del producto interior para demostrar que $$ \mathcal{L}_X(f\nu)=(\mathcal{L}_X\;f)\nu +f\mathcal{L}_X\nu=\\ (X\lrcorner df)\nu+\left(\mathcal{L}_{fX}(\nu)-df\wedge(X\lrcorner\nu) \right)=\\ \mathcal{L}_{fX}(\nu)+\left((X\lrcorner df)\nu -df\wedge(X\lrcorner\nu) \right)=\\ =\mathcal{L}_{fX}(\nu)+X\lrcorner(df\wedge\nu)=\\ \mathcal{L}_{fX}(\nu)+0=\operatorname{div}(fX)\nu. $$ Por lo tanto, $$\phi^*((\operatorname{div} Y)\mu)=\operatorname{div}(fX)\nu,$$ lo que sugiere que la forma de volumen original $\nu$ puede cambiar debido tanto a la divergencia del campo a lo largo del cual lo observamos como al mapeo con el campo escalar determinante $f$ .