Momento de inercia sobre el centro de masa

Question

¿Por qué el momento de inercia mínimo sobre centro de masa de cualquier cuerpo rígido?

Answer 1

Las otras respuestas son muy buenas, así que me concentraré en el significado más físico, en la intuición más que en las matemáticas. Imagina que tienes una gran barra de una gran masa M. Es difícil hacerla girar. Ahora consideremos la misma masa M comprimida hasta casi un punto.Ahora tenemos tu pregunta sobre el centro de la varilla pero en el extremo de que tiene una masa enorme.Pues bien, como toda la masa está situada en casi un punto, será realmente fácil girarla, por lo que conclyde que su momento de inercia es casi cero.Así que si teóricamente hablamos de un solo PUNTO, entonces el momento de inercia es efectivamente cero. Espero haber ayudado.

Answer 2

Por definición, para un objeto 2D que comprende un número de masas puntuales distintas $m_i$ girando alrededor de un punto $r_0$ el momento de inercia viene dado por la suma

$$I = \sum_i{m_i |\vec r_i - \vec{r_0}|^2}$$

Si escribimos la posición del vector $\vec{r}$ como (x,y) y el punto $r_0$ como $(x_0, y_0)$ entonces podemos escribirlo como

$$\begin{align} I &= \sum_i{m_i \left((x_i-x_0)^2 + (y_i-y_0)^2\right)}\\ &=\sum_i{m_i \left(x_i^2-2x_i\cdot x_0 + x_0^2 + y_i^2-2y_i\cdot y_0 + y_0^2\right)}\\ \end{align}$$

Si queremos minimizar esto, entonces necesitamos la derivada parcial con respecto a $x_0$ y $y_0$ sea cero. Esto lleva a las siguientes ecuaciones (sólo lo muestro para $x$ # pero lo mismo es obviamente cierto para $y$ )

$$\sum_i{m_i \left(-2x_i + 2 x_0\right)}= 0 \implies\\ \sum_i{m_i \cdot x_i} = \sum_i{m_i \cdot x_0}$$

Si dividimos por la masa total, la expresión de la izquierda es la definición del centro de masa en el $x$ y la ecuación nos dice que poner el centro de rotación en el centro de masa minimiza el momento de inercia.

Este resultado puede ampliarse con algo de esfuerzo al caso de las 3D, pero la notación se vuelve más confusa y no creo que ayude a la comprensión.

Answer 3

Aquí tienes una prueba matemática para tu problema, que demuestra que el momento polar de inercia en torno al centro de gravedad es efectivamente el mínimo, al menos para un cuerpo rígido laminar (2D).

Para un cuerpo rígido de masa $m$ :

El momento polar de inercia tomado alrededor de un punto general P es:

$$I_P = \int\limits_m \left( \vec r_P \cdot \vec r_P \right) dm$$

Tenemos que encontrar el valor mínimo de $I_P$ para este cuerpo rígido.

Suba a lo siguiente: $\vec r_P = \vec r_G - \vec r_{PG}$

$$I_P = \int\limits_m \left( \vec r_G - \vec r_{PG} \right) \cdot \left( \vec r_G - \vec r_{PG} \right) dm$$

$$I_P = \int\limits_m \left( \vec r_G \cdot \vec r_G \right) dm - \int\limits_m \left( 2 \vec r_{PG} \cdot \vec r_G \right) dm + \int\limits_m \left( \vec r_{PG} \cdot \vec r_{PG} \right) dm$$

$$I_P = \int\limits_m \left( \vec r_G \cdot \vec r_G \right) dm - 2\vec r_{PG} \cdot \int\limits_m \vec r_G dm + \left| \vec r_{PG}\right|^2\int\limits_m dm$$

Ahora, $\int\limits_m \left( \vec r_G \cdot \vec r_G \right) dm$ es el momento polar de inercia en torno al centro de gravedad, $I_G$ . Además, por la definición del centro de gravedad, $\int\limits_m \vec r_G dm = 0$ . $\int\limits_m dm$ es igual a la masa total, $m$ .

$$I_P = I_G + \left| \vec r_{PG}\right|^2 m$$

Intentemos minimizar esta expresión. $I_G$ es constante, por lo que no podemos minimizar más este término. El término $\left| \vec r_{PG}\right|^2 m$ debe ser no negativo (número al cuadrado multiplicado por una masa). El valor mínimo de este término es cero, donde $\vec r_{PG} = 0$ .

Por lo tanto, $I_{P_{min}} = I_G$ En otras palabras, el momento de inercia polar mínimo se produce en torno al centro de gravedad.

Answer 4

Bien, para hacer las cosas más explícitas, tomemos un caso generalizado. Supongamos que hay un marco de referencia $A$ en el que el movimiento de un cuerpo rígido (formado por muchas partículas) es pura rotación alrededor de un eje fijo. Ahora bien, si el marco $A$ no es inercial, entonces no podemos esperar simplemente $\Gamma ^ {ext} = I \alpha$ para que se mantenga, ya que como sabrás lo anterior se deriva utilizando $F=ma$ que se mantienen sólo para el marco inercial. Pero ahora, como el marco es no inercial, tenemos que aplicar un $pseudo$ fuerza $-m \vec{a}$ . Esta pseudofuerza produce un pseudopar sobre el eje.

Como caso especial, calculemos el par neto alrededor del centro de masa del cuerpo.

Toma el origen en el C.O.M. El par total de las pseudofuerzas es, $$\sum \vec{r}_i \times (-m_i \vec{a}) = -\big(\sum m_i \vec{r_i}\big) \times \vec{a} = -M\bigg(\frac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}\bigg) \times \vec{a}$$

donde $\vec{r_i}$ es el vector de posición del $i$ de la partícula medida desde el COM.

Pero $\dfrac{\sum m_i \vec{r_i}}{M}$ es el vector de posición de la COM y que es $zero$ ya que el COM está en el origen. Por lo tanto, el pseudo par es cero y el par neto resulta ser el mismo que en el marco inercial, $\Gamma^{ext}=I\alpha$ .

Por tanto, podemos concluir que al calcular el par neto en torno al centro de masa, el pseudopar resulta ser $zero$ y el par neto sigue siendo $I\alpha$ mientras que en todos los demás casos, el par neto es igual a $I\alpha$ + par debido a las pseudofuerzas por lo que para cualquier cuerpo rígido el par neto es mínimo alrededor del centro de masa.

Espero que responda a su pregunta.

Answer 5

Como sabemos el momento de inercia, I de un objeto es la suma de la masa por la distancia del eje al centro de masa y el momento de inercia alrededor del centro: $$I=I_{com}+Md^2\\d^2\ge0\implies I\ge I_{com}$$