El espacio de Hausdorff conectado, localmente compacto y paracompacto es agotable por los compactos

Question

Estoy tratando de entender la prueba de lo siguiente:

Un espacio de Hausdorff conectado, localmente compacto y paracompacto $X$ tiene un agotamiento por conjuntos compactos,

Es decir, existe una secuencia $(K_n)_n$ de subconjuntos compactos de $X$ cuya unión es $X$ mismo, de tal manera que $K_n$ está incluido en el interior de $K_{n+1}$ para todos $n$ .

La prueba es la siguiente. Elija una cubierta abierta localmente finita $(U_i)_{iI}$ de $X$ , de manera que el cierre de $U_i$ es compacto, para todo $i$ . Entonces todo subconjunto compacto de $X$ intersecta sólo un número finito de las $U_i$ ( ¿Por qué? ).

Entonces $K_1$ se elige como el cierre de cualquier $U_i$ . $K_2$ se elige como la unión de los cierres del $U_i$ que se cruzan $K_1$ y así sucesivamente. El resto es fácil.

Answer 1

Se empieza por observar que todo el conjunto de todos los abiertos $O$ con $\overline{O}$ compacto es una cubierta abierta de $X$ por la compacidad local y la Hausdorffidad.

La paracompacidad de $X$ entonces nos da un refinamiento localmente finito $(U_i)_{i \in I}$ de esa cubierta. No es el $U_i$ que necesitan ser compactos en esta prueba, sino sus cierres y esto se sigue como cada $U_i$ es un subconjunto de algún $O$ con cierre compacto por lo que lo mismo vale para el $U_i$ . Lo nuevo es la finitud local, que se utiliza para el hecho del conjunto compacto:

Ahora bien, si $K$ es compacto, cada $x \in K$ tiene una vecindad $W_x$ tal que $\{i \in I: U_i \cap W_x\neq \emptyset \}$ es finito, ya que tenemos un refinamiento localmente finito. Entonces $K$ siendo compacto está cubierto por un número finito de estos $W_x$ , digamos que $W_x, x \in F$ para un número finito de $F \subseteq K$ .

Pero entonces $$\{i \in I: K \cap U_i \neq \emptyset \} \subseteq \{i \in I: ( \bigcup_{x \in F} W_x ) \cap U_i \neq \emptyset\} = \bigcup_{x \in F} \{i \in I: W_x \cap U_i\neq \emptyset\}$$ donde este último es una unión finita de conjuntos finitos tan finitos.

Así que el $\{U_i: i \in I\}$ son los necesarios.

Answer 2

Supongamos que $K\subseteq X$ es compacto. Para cada $x\in K$ , elija un conjunto abierto $V_x$ alrededor de $x$ que interseca sólo a un número finito de $U_i$ (por finitud local). Dado que $K$ es compacto, sólo está cubierto por un número finito de estos $V_x$ . Dado que cada $V_x$ intersecta sólo un número finito de $U_i$ También lo hace $K$ .