Resolución de la ecuación factorial $ x!=\left(x-1\right)! + 96 $

Question

Estoy atascado con un problema que aparentemente es simple.

Necesito encontrar $x$ en la siguiente ecuación:

$$ x!=\left(x-1\right)! + 96 $$

¿Cómo puedo solucionarlo?

Después de algún pasaje que he encontrado:

$$ \left(x-1\right)\left(x-1\right)! = 96 $$

Pero entonces no sé cómo continuar...

Answer 1

Si se factoriza $96=(2^5)(3^1)=(1.2.3.4)\times 4$ puedes notar que ya está en la forma $n!\times n$ para $n=4$ y no hay otra manera de arreglar $2^5\times 3$ para hacer aparecer un producto de números consecutivos.

Por lo tanto, utilizando su ecuación obtenemos $x-1=n\iff x=5$

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Editar:

• Para los más grandes $n$ sur $x!=(x-1)!+n$ pero sigue siendo razonablemente baja, la factorización sigue siendo un método rápido, porque $n$ al ser divisible por un factorial se factorizará fácilmente (es decir, no es un producto de grandes primos).

Por ejemplo, dejemos $n=334764638208000=(2^{19})(3^6)(5^3)(7^2)(11)(13)$

Podemos empezar por examinar $\dfrac{n}{13!}=(2^9)(3)(5)(7)$

A partir de ahí, si intento continuar la secuencia $\, 1,2,\cdots,13\ $ no es difícil averiguar que $(14\times 15\times 16)\times 16$ viene a continuación, y la solución es $x=17$ .

• En el caso de las grandes $n$ esto puede volverse tedioso, pero podemos cambiar a la aproximación asintótica del factorial inverso.

Véase este post, por ejemplo Inverso de un factorial

$$ n\sim e\exp\left(\operatorname{W}\left(\frac1{e}\log\left(\frac{n!}{\sqrt{2\pi}}\right)\right)\right)-\frac12\tag{1} $$

Observe también que $(x-1)!\le (x-1)(x-1)!\le x!$ por lo tanto $n$ se aprieta entre dos factoriales consecutivos.

Por ejemplo, para $n=96$ entonces $\overbrace{4!}^{24} \le 96\le \overbrace{5!}^{120}$ y sólo necesito confirmar que $x=5$ es efectivamente la solución.

Para los grandes $n$ Basta entonces con calcular la aproximación anterior y probar sólo algunos casos para encontrar el $x$ (siempre y cuando $n$ se ajusta a la ecuación).

Por ejemplo $(334764638208000)(!^{-1})\approx 16.978$ y sólo hay que comprobar que si $x=17$ resuelve la ecuación, si no comprueba también $16$ et $18$ .

Answer 2

Escribe $(x-1)(x-1)!$ comme $(x-1)^2(x-2)!$
Sólo hay dos formas de escribir $96$ de esta forma: $2^2 \cdot 4!$ et $4^2 \cdot 3!$ (También hay $1^2 \cdot 96$ pero $96$ no es un factorial).
La inspección muestra que $96=4^2\cdot 3!$ da la solución $x=5$ . Reducir el problema a dos posibilidades no es una cuestión de prueba y error.

Answer 3

En primer lugar, podemos mover todos los términos que contienen $x$ a la izquierda: $x!-(x-1)!=96$

Ahora, podemos escribirlos en forma expandida (esto es útil a veces con problemas que implican factoriales múltiples): $(x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*...)-((x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*...)=96$

¡Ahá! Podemos calcular un $(x-1)*(x-2)*...$ que equivale a un $(x-1)!$ Lo conseguimos: $x(x-1)!-1(x-1)!=96$

Así que, $(x-1)(x-1)!=96$

A partir de aquí, nos damos cuenta de dos cosas:

a) $(x-1)!$ es mayor que $(x-1)$ b) $(x-1)!$ tiene que ser menor que $96$

Esto limita enormemente nuestras posibles opciones.

A partir de aquí, podemos factorizar en primo $96$ o aviso de que $96$ es un múltiplo de $24$ . ¿Cómo ayuda eso? Bueno, $24=4!$ y $96=4*24$ . Eso significa que $96=4*4!$

Ahora, sabemos $96=(x-1)*(x-1)!$ Así que $(x-1)*(x-1)!=4*4!$ Así que $x-1=4$ Así que

$\boxed{x=5}$