Expresión para $dW$ para una fuerza dependiente de la posición en 3D $\vec{F}(\vec{r})$ .

Question

Estaba mirando la derivación del elemento infinitesimal de trabajo realizado para una fuerza dependiente de la posición 3d y no pude superar la conmutación de $\text{d}\vec{v}$ et $\text{d}\vec{r}$ en la tercera línea y cómo el autor pasó de la penúltima a la última línea de trabajo (abajo):

$$ \begin{aligned} \text{d}W & = F_x \text{d}x + F_y \text{d}y + F_z \text{d}z \\ & = \vec{F} \cdot \text{d}\vec{r} \\ & = m \dfrac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \cdot \text{d}\vec{r} = m \dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t} \cdot \text{d}\vec{v} \\ & = m \vec{v} \cdot \text{d}\vec{v} \\ & = \text{d} \left( \frac{1}{2} m \vec{v} \cdot \vec{v} \right) \end{aligned} $$

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Esta es la conocida derivación de la fórmula de la energía cinética. Al principio te resultará más fácil trabajar en escalares para ver lo que ocurre, así que vamos a suponer que la fuerza está siempre en la dirección del movimiento (obviando así la necesidad de los productos de puntos).

La derivación es una aplicación "abreviada" de un cambio de variables y utiliza implícitamente la regla de la cadena.

Esta es la forma más larga y detallada:

Comience con $\displaystyle F = ma = m\frac{dv}{dt}$ et $\displaystyle F = \frac{dW}{dr}$ .

Igualando las dos cosas obtenemos:

$$m\frac{dv}{dt} = \frac{dW}{dr}$$

Tenga en cuenta que por la regla de la cadena, $\displaystyle \frac{dW}{dr} = \frac{dW}{dv}\cdot \frac{dv}{dr} = \frac{\frac{dW}{dv}}{\frac{dr}{dv}}$

Sustituyendo eso y reordenando obtenemos:

$$\frac{dW}{dv} = m\frac{dv}{dt}\cdot \frac{dr}{dv} = m\frac{dr}{dt}$$

con otra aplicación de la regla de la cadena.

Ahora, porque $\displaystyle v = \frac{dr}{dt}$ podemos reescribirlo:

$$\frac{dW}{dv} =mv$$

El lado derecho depende únicamente de la variable $v$ (la masa es constante en la mecánica clásica), por lo que podemos simplemente integrar ambos lados por $v$ para conseguirlo:

$$\int_0^v \frac{dW}{dv}dv = \int_0^v mvdv$$

y por lo tanto

$$W = \frac{1}{2}mv^2$$

Esta es una forma un poco larga y poco manejable de hacerlo. La mayoría de las veces, podemos simplificar la derivación cancelando y reordenando directamente los infinitesimales. Ahora que deberías haber entendido el "camino largo", déjame mostrarte el "atajo".

De nuevo, empieza con:

$$m\frac{dv}{dt} = \frac{dW}{dr}$$

Reordenar trayendo el $dr$ al LHS para conseguir:

$$dW = m\frac{dv}{dt}\cdot {dr}$$

Ahora simplemente reordena los infinitesimales en el lado derecho para obtener:

$$dW = m\frac{dr}{dt}\cdot dv$$

y como $\displaystyle \frac{dr}{dt}=v$ ,

$$dW = mvdv$$

Ahora podemos realizar la integración como antes para obtener el mismo resultado final.

Ahora deberías poder poner los productos de puntos de forma adecuada para ver exactamente cómo se llega al resultado. La última línea es sólo una formulación alternativa de $mvdv$ que también puede expresarse como $d(\frac{1}{2}mv^2)$ .

Si tiene problemas para "ver" eso, piense en cómo se están separando las variables en este sencillo ejemplo:

$y = x^2 \implies \frac{dy}{dx} = 2x \implies dy = 2xdx$

y como $dy = d(x^2)$ También puede escribir $d(x^2) = 2xdx$ . Se trata de formulaciones equivalentes.