Seleccionando n números reales entre 0 y 1 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estén en orden creciente?

Question

Si selecciono n distintivo números reales $[0-1]$ al azar, hay $n!$ arreglos de esos números. Sólo uno de los arreglos está en orden de menor a mayor. Por lo tanto:

P(n reales distintos de orden creciente)= $\frac{1}{n!}$ igualmente

P(n reales distintos de orden creciente o decreciente)= $\frac{2}{n!}$

¿Sigue siendo esto cierto si los números son no ¿se requiere que sean distintos? Sospecho que sí, pero ¿por qué?

Quiero decir que obtener los mismos números reales más de una vez tiene una probabilidad de efectivamente 0, pero esto se siente como un movimiento de manos y también potencialmente incorrecto.

Answer 1

Para hablar de probabilidades en esta situación, es necesario tener una medida; la obvia aquí es la medida de Lebesgue sobre $[0,1]^n$ .

Para esta medida, el subconjunto de $[0,1]^n$ (Esto no es difícil de demostrar, incluso con un mínimo de teoría de la medida). Así que su intuición es correcta, y su argumento "de mano" se convierte fácilmente en una prueba formal con las herramientas adecuadas.

Nota histórica: antes de que Kolmogorov elaborara las conexiones entre la probabilidad y la teoría de la medida, muchas preguntas como ésta causaban mucha perplejidad y a veces incluso conducían a paradojas.