expresión de forma cerrada para las raíces de un polinomio

Question

Se suele decir coloquialmente que las raíces de un polinomio general de grado $5$ o superior no tienen "ninguna fórmula de forma cerrada", pero el teorema de Abel-Ruffini sólo demuestra la inexistencia de algebraico fórmulas de forma cerrada. Y recuerdo haber leído en alguna parte que las raíces de las ecuaciones quínticas se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica.

¿Qué se sabe, además de Abel-Ruffini, sobre las fórmulas de forma cerrada para las raíces de los polinomios? ¿Existe una fórmula si permitimos el uso de funciones especiales adicionales?

Answer 1

Como ya sabrás, las soluciones de la quíntica se pueden expresar en términos de ${}_4 F_3$ funciones hipergeométricas o funciones theta de Jacobi. Véase Rey o Prasolov/Solovyev para más detalles.

Para los polinomios de mayor grado, existe también una fórmula general para las raíces, debida a Umemura . Las fórmulas implican la generalización multidimensional de las funciones theta de Jacobi (la Función theta de Riemann ), y son un poco difíciles de manejar; consulte el artículo de Umemura si desea más detalles. Véase también este preimpreso para una solución de la ecuación polinómica reducida $x^n-x-\alpha=0$ en términos de funciones hipergeométricas.

Answer 2

La pregunta se basa en

los polinomios generales de grado 5 o superior no tienen "ninguna fórmula de forma cerrada"

Esto no es exactamente cierto, lo que habría que decir es que "las ecuaciones algebraicas generales de grado superior a 4 no admiten soluciones por radicales", lo que significa que no pueden resolverse mediante operaciones que impliquen combinaciones de sumas ordinarias, multiplicaciones, divisiones, elevaciones a potencias, extracciones de raíces... Por otro lado, Hermite demostró que las ecuaciones de quinto grado pueden resolverse mediante las funciones elípticas modulares, que proporcionan una generalización de la llamada solución trigonométrica de las ecuaciones de grado inferior a 5. Las ecuaciones algebraicas de orden superior (a 5) pueden resolverse empleando otras formas de funciones elípticas.

En tiempos más recientes, el uso de la fórmula de inversión de Lagrange ha permitido obtener soluciones en términos de funciones hipergeométricas. Esta técnica fue desarrollada por el matemático italiano G. Belardinelli en 1959 y posteriormente redescubierta por M. L. Glasser en 2000 J. Comp. Appl. Math. 118 (2000) 169-171 .

Answer 3

Las ecuaciones polinómicas pueden resolverse con las 4 operaciones aritméticas, las raíces primarias de las potencias y una colección adecuada de otras raíces especiales obtenidas a partir de un subconjunto de las ecuaciones "irresolubles" de orden 5 y superior. Para la ecuación quíntica, si no recuerdo mal, sólo hay que añadir a la lista de operaciones la "raíz estrella" x = *√c a x⁵ + x = c de números reales c.

Eso se describe de pasada en R. Bruce King, Más allá de la ecuación cuártica , Birkhäuser, Boston, Basilea, Berlín, 1996.

Answer 4

¿Acaso el fórmula de inversión de lagrange ¿te da una "fórmula" para las raíces? (como una expansión desde algún punto $a$ cerca)