Para los números reales $z$ y $w$ , $|(1+z)(1+w)-1| \leq (1+|z|)(1+|w|)-1$ .

Question

He escrito un intento de demostración del teorema del título y necesito ayuda para verificarlo. He utilizado los siguientes teoremas para demostrar el teorema del título.

Teorema 5.14)a) Dejemos que $x$ sea un número real. $-|x| \leq x \leq |x|$ .

Teorema 5.14)b) Dejemos que $a \geq 0$ . $|x| \leq a$ si y sólo si $-a \leq x \leq a$ .

Teorema 5.14)c) Dejemos que $x$ y $y$ sean números reales. $|x+y| \leq |x| + |y|$ (La desigualdad del triángulo).

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Para los números reales $z$ y $w$ , $|(1+z)(1+w)-1| \leq (1+|z|)(1+|w|)-1$ .

Prueba. De Teorema 5.14)a) , $(1+z) \leq |(1+z)|$ y $(1+w) \leq |(1+w)|$ . Multiplicando el $(1+z) \leq |(1+z)|$ por $|(1+w)|$ se obtiene

\begin{align} (1+z)|(1+w)| \leq |(1+z)||(1+w)| \end{align}

Desde $(1+w) \leq |(1+w)|$ se deduce que

\begin{align} (1+z)(1+w) \leq |(1+z)||(1+w)| \end{align}

Obsérvese que desde La desigualdad del triángulo,

\begin{align} |(1+z)| \leq 1 + |z|\\ |(1+w)| \leq 1 + |w| \end{align}

Desde $|(1+z)|(1 + |w|) \leq (1 + |z|)(1 + |w|)$ y $|(1+w)| \leq (1 + |w|)$ se deduce que

\begin{align} (1+z)(1+w) -1 \leq |(1+z)||(1+w)| -1 \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \end{align}

Está claro que $(1 + |z|)(1 + |w|) -1 \geq 0$ .

En caso de que $(1+z)(1+w) -1 \geq 0$ , $|(1+z)(1+w) -1| = (1+z)(1+w) -1$ .

Por lo tanto,

\begin{align} -[(1 + |z|)(1 + |w|) -1] \leq 0 \leq (1+z)(1+w) -1 \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \end{align}

Desde Teorema 5.14)b) ,

\begin{align} |(1+z)(1+w) -1| \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \end{align}

estableciendo el resultado para este caso.

Por otro lado, en caso de que $(1+z)(1+w) -1 < 0$ , $|(1+z)(1+w) -1| = -[(1+z)(1+w) -1]$ .

Por lo tanto,

\begin{align} -[(1 + |z|)(1 + |w|) -1] \leq (1+z)(1+w) -1 < 0 \end{align}

Desde $(1 + |z|)(1 + |w|) -1 \geq 0$ ,

\begin{align} -[(1 + |z|)(1 + |w|) -1] \leq (1+z)(1+w) -1 \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \end{align}

Multiplicando las desigualdades por $-1$ se obtiene

\begin{align} (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \geq -[(1+z)(1+w) -1] \geq -[(1 + |z|)(1 + |w|) -1] \end{align}

Desde Teorema 5.14)b) ,

\begin{align} |(1+z)(1+w) -1| \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1 \end{align}

estableciendo el resultado para este caso.

Porque el resultado para todos los casos de $(1+z)(1+w) -1$ se han establecido, es el caso que $|(1+z)(1+w) -1| \leq (1 + |z|)(1 + |w|) -1$ .

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Answer 1

Tenemos :

$(1+z)(1+w)-1 = z+w+zw$

Así:

$|(1+z)(1+w)-1| = |z+w+zw| \le |z| + |w| + |zw| = (1+|z|)(1+|w|) -1$

QED

Answer 2

Para responder a la solution-verification parte de la pregunta, este paso es incorrecto.

se obtiene

\begin{align} (1+z)|(1+w)| \leq |(1+z)||(1+w)| \end{align}

Desde $(1+w) \leq |(1+w)|$ se deduce que

\begin{align} (1+z)(1+w) \leq |(1+z)||(1+w)| \end{align}

Lo anterior es de la forma $\, a \cdot |b| \le c \implies a \cdot b \le c\,$ lo que no es cierto en general. Por ejemplo, si $\,a=b=-2, \,c=1\,$ puis $\,a \cdot |b| = -4 \le 1 = c\,$ pero $\,a \cdot b = 4 \gt 1 = c\,$ . La implicación es válida para $\,a \ge 0\,$ pero aquí $\,a = 1 + z\,$ que no es necesariamente positivo.

La forma correcta de derivar la desigualdad es utilizar que $\,|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\,$ entonces:

$$ (1+z)\cdot (1+w) \;\leq\; |(1+z)\cdot(1+w)| \;=\; |1+z|\cdot|1+w| $$