¿Primer teorema de isomorfismo para mapas entre módulos de Hilbert?

Question

Dejemos que

• $X$ sea un espacio topológico compacto de Hausdorff,
• $H,K$ sean módulos de Hilbert sobre el $C^*$ -Álgebra $C(X)$ ,
• $T:H\rightarrow K$ sea un límite $C(X)$ -un mapa lineal tal que ran( $T$ ) es un módulo de Hilbert sobre $C(X)$ .

Entonces, ¿existe un análogo de la Primer teorema de isomorfismo diciendo que corrió( $T$ ) es isomorfo como módulo de Hilbert al módulo de Hilbert $H/\ker T$ en $C(X)$ ?

Answer 1

¿Qué pasa cuando $X$ ¿es un punto único? Entonces obtenemos los espacios de Hilbert $H,K$ y un mapa lineal acotado $T:H\rightarrow K$ que tiene un rango cerrado. ¿Podemos girar $H/\ker T$ en un espacio de Hilbert? Para ello, necesitamos un producto interno en $H/ker T$ la definición ingenua sería $$ (x+\ker T|y+\ker T) = (x|y) $$ pero, por supuesto, esto no está ni remotamente bien definido. En un intento de hacerlo bien definido, probablemente necesitamos tener una forma "distinguida" de representar una clase de equivalencia $x+\ker T$ . Utilizando el "teorema de la proyección" cualquier $x\in H$ puede escribirse como $x_0 + x_1$ où $x_0\in\ker T$ , $x_1\in (\ker T)^\perp$ ; por supuesto $(x_0|x_1)=0$ . A continuación, represente $x+\ker $ por $x_1$ y definir $$ (x+\ker T|y+\ker T) = (x_1|y_1). $$ Entonces, esto funciona. De hecho, todo lo que hemos hecho es escribir $H$ como la suma directa ortogonal $\ker T \oplus (\ker T)^\perp$ y luego identificar $H/\ker T$ con $(\ker T)^\perp$ . Por tanto, convertimos la consideración de cocientes en la consideración de subespacios, y los subespacios de un espacio de Hilbert son a su vez espacios de Hilbert.

(Me pregunto si existe un buen libro de texto que adopte este punto de vista).

Con $X$ En general, es habitual considerar sólo contiguo mapas $T:H\rightarrow K$ es decir, como asumir la existencia de $T^*:K\rightarrow H$ . Esto no es automático: dejemos $H=C(X)$ y que $Y\subseteq X$ sea cerrado no vacío con complemento denso y sea $K=\{f\in C(X) : f(y)=0 \ (y\in Y) \}$ . Si $T:K\rightarrow H$ es la inclusión, entonces se puede comprobar que si $T^*$ existía entonces $T^*(1)=1\not\in K$ una contradicción.

El problema con el que nos encontraremos es que para un Hilbert C $^*$ -no tenemos descomposiciones ortogonales. Por ejemplo, con el ejemplo anterior, $K^\perp=\{0\}$ en $H$ pero por supuesto $K\not=H$ .

Un teorema de Miščenko dice que si $T:H\rightarrow K$ es contiguo con rango cerrado, entonces $\ker T$ se complementa: tenemos de hecho que $\ker T \oplus \operatorname{im}(T^*) = H$ . Así, podemos identificar $H/\ker T$ con $\operatorname{im}(T^*)$ y proceder como en el caso del espacio de Hilbert.

Aquí he estado siguiendo el pequeño y encantador libro de Lance "Hilbert $C^*$ -módulos: Un conjunto de herramientas para los algebristas de operadores".