Relación entre el campo de Reeb de una colector de contacto y el campo de Reeb de un submanifold de contacto

Question

Supongamos que tenemos una submanifold de contacto $i:(S,\xi_S) \hookrightarrow (M,\xi)$ . Esto significa que si $\xi = \ker \alpha$ entonces $\xi_S = \ker i^* \alpha$ .

Qué es el campo vectorial de Reeb $X_S$ en $S$ y cómo se relaciona con el campo vectorial de Reeb $X_M$ de $M$ ? Pensé que podríamos intentar estudiar un barrio tubular de $S$ visto como el paquete normal: $\pi:N_S \to S$ y $i:S \hookrightarrow N_S$ es la sección cero. Entonces $X_M \in TN_S = TS \oplus V$ où $V$ son las fibras verticales; podemos proyectar $\pi_* X_M \in TS$ y pensé que tal vez esto debería ser $X_S$ .

Sin embargo, $i^*\alpha(\pi_*X_M) = (i \circ \pi)^* \alpha(X_M)$ . Desgraciadamente, $\pi \circ i = \text{id}$ pero $i \circ \pi \neq \text{id}$ .

Answer 1

En general, creo que no existe una relación fácil entre el campo vectorial de Reeb de una submanifold de contacto y el campo vectorial de Reeb de la manifold de contacto ambiental.

Ejemplo. Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana, entonces $STM$ que es el haz tangente unitario de $(M,g)$ es canónicamente una colector de contacto coorientado cuyo flujo de Reeb es el flujo geodésico en $M$ . Del mismo modo, si $N$ es un submanifold de $M$ entonces $STN$ es un submanifold de contacto de $STM$ cuyo flujo de Reeb es el flujo geodésico en $N$ . Sin embargo, a menos que $N$ es totalmente geodésico, es difícil relacionar el flujo geodésico en $N$ y el flujo geodésico en $M$ por lo que es ilusorio expresar el campo vectorial de Reeb de $STN$ en términos del campo vectorial Reeb de $STM$ .