Respuesta corta: Tal y como comenta Vobo, en realidad no hay ningún problema (simplemente lo he pasado por alto). La afirmación se desprende de la igualdad $S= E_1 * \Delta S + E_2 * \Delta S$ .
Comentario más largo sobre la respuesta: Así que básicamente hay múltiples puntos de vista sobre la afirmación. Uno puede demostrar que una distribución armónica es una función armónica sin ningún conocimiento de las distribuciones templadas o de las transformadas de Fourier. Sin embargo, con estos conocimientos -como comenta Paul Garrett- se puede demostrar un poco más. En el caso $T$ mismo está templado se puede demostrar realmente que $T$ es un polinomio (véase por ejemplo Demuestre que las únicas distribuciones templadas que son armónicas son los polinomios armónicos ).
De hecho, se demuestra que el apoyo de $\mathcal F(T)$ (la transformada de Fourier de $T$ ) es $\{0\}$ lo que implica que $\mathcal F(T)= \sum_{\alpha : |\alpha| \le k} c_\alpha \partial^\alpha \delta_0$ . Aplicando la inversa de Fourier encontramos que
$T= \sum_{\alpha :|\alpha|\le k} d_\alpha x^\alpha $
(como $\mathcal F \mathbb 1 = \delta_0$ y $\mathcal F x^\alpha = (-1)^\alpha \delta^\alpha$ ), donde $d_\alpha = (-1)^\alpha c_\alpha$ .
