Prueba de la siguiente desigualdad $ \frac{x - y}{\log x - \log y} > \sqrt{xy} $, $x>y$.

Question

He visto la siguiente desigualdad $$ \frac{x - y}{\log x - \log y} > \sqrt{xy} \ , \quad \forall x>y $$ se indica como una cerca "obvio" hecho en otra pregunta, en el sitio. La desigualdad es muy lindo, pero hasta ahora no he sido capaz de demostrarlo. Me recuerda a la de Lipschitz de la desigualdad, pero tiene algunas diferencias menores. También Jensens la desigualdad viene a la mente. Hay algo que es obvio que me falta, o es este ineqality no es tan fácil de demostrar como se ve?

Answer 1

Puesto que es cóncava para $1/x$ entonces \begin{align*} \log b - \log a = \int_b^a\frac{\mathrm{d}x}{x} < \underbrace{ \frac{1}{2} \frac{b - a}{\sqrt{ba}} }_\text{Blue Area} +\underbrace{ \frac{1}{2}\frac{b - a}{\sqrt{ba}} }_{\text{Red area}} = \frac{b - a}{\sqrt{ba}}\end$x>0$ {align*} implicando %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia: que $\dfrac{x}{y}=t>1$ y $$\Longleftrightarrow f(t)={t-1}-{\ln{t}}\cdot \sqrt{t}$ $

y seguir es fácil de demostrar que

Answer 3

$x=t^2y$ $t\gt1$ De la escritura, la desigualdad a ser probada se puede escribir como

$$t-{1\over t}-2\log t\gt0$$

Dejar que $f(t)$ ser la expresión de la izquierda, vemos que el $f(1)=0$ y

$$f'(t)=1+{1\over t^2}-{2\over t}={(t-1)^2\over t}\gt0 \text{ for }x\gt1$$

Esto significa $f$ es estrictamente creciente, lo que necesariamente positivo.

Nota: Esta respuesta es a lo largo de las líneas de los planteamientos math110 y egreg. La diferencia principal era escribir la desigualdad de una manera que sugiere una función que es fácil de distinguir y mostrar siempre es positiva.

Answer 4

Con la sustitución de $x/y=t^2$, la desigualdad se convierte en

$$ \frac{t^2-1}{\log t^2}>t $$ que, por $t>1$, es equivalente a $$ t^2-1>2t\log t. $$

Considere la posibilidad de $f(t)=t^2-1-2t\log t$, definido por $t\ge1$; tenemos $f(1)=0$ y la derivada es $$ f'(t)=2t-2-2\log t. $$ Yo reclamo que $f'(t)>0$$t>1$, por lo que la función de $f$ es cada vez mayor. Es fácil ver que $f'(1)=0$$\lim_{t\to\infty}f'(t)=\infty$.

Desde $$ f"(t)=2-\frac{2}{t}>0 $$ para $t>1$, la función de $f'$ va en aumento, así que por todos lados positivos (excepto en $1$).

Por supuesto, la prueba con la convexidad es mejor.

Answer 5

La desigualdad tiene muchas manifestaciones. Algunos se hacen con representación logarítmica de integral. Dar aquí un ejemplo: desigualdad de integración $$\frac{1}{L( a, b )} = \frac{1}{b - a}\int^{\frac{b}{a}}_{1}\frac{dx}{x}$ $: $$\frac{4}{(x+1)^2}\leq\frac{1}{x}\leq\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$ $ es obtenido %#% $ #% por lo tanto, la desigualdad en cuestión, pero más estructura media logarítmica entre la media aritmética y media geométrica: $$\frac{b-a}{b+a}\leq\frac{1}{2}\ln\frac{b}{a} \leq\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$% $ #%(0<a<b) de #%