Varianza de la variable aleatoria definida por la combinación de variables aleatorias con distribución normal

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejemos que $X_1 , X_2 , X_3 $ variables aleatorias con distribución normal y con $\mu = (-1,1,0)^T$ , $\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ .

Si tenemos $Y = X_1 + 2 X_2 - 3 X_3$ . Encuentre la varianza de $Y$ .

He buscado cómo solucionar este problema pero no he conseguido nada. Entiendo que tengo que encontrar una matriz $A$ tal que $\Sigma = AA^T$ pero ¿cómo se puede definir un $A$ matriz para la distribución $Y$ ? También encontré un caso similar en el que simplemente multiplicaron el $\Sigma$ por la suma de los diferentes coeficientes de las variables $X_i$ . Pero en el caso de la distribución $Y$ sería $0$ y eso me dejó más confundido. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Pistas: Intente anotar $EX_iX_j$ para todos $i,j$ . $$EX_1X_2-(EX_1)(EX_2)=0$$ (el elemento de la primera fila y segunda columna de $\Sigma$ ). y $$EX_1=-1,EX_2=1$$ Esto da $EX_1X_2=-1$ .

$$EX_1^{2}-(EX_1)^{2}=1$$ y esto da $$EX_1^{2}=2$$ y así sucesivamente. Ahora $$EY^{2}=E(X_1+2X_2-3X_3)^{2}$$ se puede obtener simplemente expandiendo el cuadrado. Varianec de $Y$ es $$EY^{2}-(EY)^{2}$$