¿Es cierto que un ideal es primo si la base reducida de Gröbner contiene polinomios irreducibles

Question

Diga $P$ es un ideal del anillo $k[x_1,...,x_n]$ donde $k$ es cualquier campo. Además, digamos que $G$ es una base de Gröbner reducida de $P$ (para algún ordenamiento monomial). ¿Es cierto que $P$ es primo si y sólo si $f$ es irreducible para cualquier $f\in G$ ? Si es falsa, ¿se cumple la afirmación para algún ordenamiento monomial (como un orden de eliminación)?

¿Y si $k$ es algebraicamente cerrado?

Answer 1

He aquí un contraejemplo para el caso en que $k$ no es algebraicamente cerrado. . .

En el ring $\mathbb{R}[x,y]$ Considere el ideal $$I = (x^2 + 1,y^2 + 1)$$ El ideal $I$ no es un ideal primo, pero ya es reducido por Groebner para cualquier ordenamiento monomial.