Resolver un límite duro mediante la aproximación de la función seno

Question

Creo que debo resolver este límite usando aproximaciones para el comportamiento cuando $x$ está cerca de $0$ pero no sé cómo aplicar la lógica para la aproximación.

$$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{sin^2(x)} - \frac{1}{x^2})$$

En el contexto de este ejercicio, el libro de texto menciona el siguiente método de aproximación: $$f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$$ Desde $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1$ entonces $lim_{x \rightarrow 0} [f(x) - 1] =0$ Pero $f(x)-1 = -x\frac{x+1}{1+x+x^2}$ por lo que, como $x \rightarrow 0$ , $f(x) \approx 1-x$ . También para $x$ cerca de $0$ $f(x) - 1 + x = x^3\frac{1}{1+x+x^2}$ así que $f(x) \approx 1-x + x^2$ .

Creo que entiendo la lógica, pero no puedo aplicar esto a la resolución de límites como el de $\frac{1}{sin^2(x)}$ .

Nota: en este punto aún no hemos visto los polinomios de Taylor, sólo este método de aproximación cerca de $0$ .

Answer 1

$$y= \frac{1}{\sin^2(x)} - \frac{1}{x^2}=\frac{x^2-\sin^2(x)}{x^2\,\sin^2(x)}$$ Ahora, utilizando la serie de Taylor $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O\left(x^5\right)$$ $$\sin^2(x)=x^2-\frac{x^4}{3}+O\left(x^6\right)$$ $$y=\frac{-\frac{x^4}{3}+O\left(x^6\right) } {x^2\left(x^2-\frac{x^4}{3}+O\left(x^6\right) \right) }=\frac{1}{3}+O\left(x^2\right)$$