¿Cómo puedo evaluar este límite trigonométrico? $\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\sqrt2\cos(x)-1}{\cot(x)-1}$ ?

Question

$$\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\frac{\sqrt2\cos(x)-1}{\cot(x)-1}=?$$

He intentado utilizar muchas fórmulas pero no soy capaz de anular el factor cero. Necesito ayuda... ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Dejemos que $f(x) = \sqrt 2 \cos x, g(x) = \cot x.$ La expresión es igual a

$$\frac{f(x) - f(\pi/4)}{g(x) - g(\pi/4)} = \frac{(f(x) - f(\pi/4))/(x-\pi/4)}{(g(x) - g(\pi/4))/(x-\pi/4)}.$$

Por definición de la derivada, como $x\to \pi/4,$ el numerador de la derecha $\to f'(\pi/4),$ el denominador $\to g'(\pi/4).$ El límite deseado es, pues, el siguiente $f'(\pi/4)/g'(\pi/4).$ Se trata de un cálculo sencillo.

Answer 2

Una pista:

$$\cot x-\cot45^\circ=?$$

Utilice http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html para $$\cos x-\cos45^\circ=?$$

Answer 3

Sugerencia: deje que $y=x-\frac{\pi}{4}$ para que $y \to 0$ cuando $x\to \frac{\pi}{4}$ . Entonces:

$$ \cos(x)=\cos(y+\frac{\pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(y) -\sin(y)) \\ \cot(x)=\frac{\cos(y+\frac{\pi}{4})}{\sin(y+\frac{\pi}{4})} = \frac{\cos(y) -\sin(y)}{\cos(y) +\sin(y)} $$

El límite se reduce a (usando sólo las definiciones de libro de

$$ \begin{align} \lim_{y\to0}\frac{\cos(y)-\sin(y)-1}{\frac{\cos(y)-\sin(y)}{cos(y)+sin(y)}-1} & = \lim_{y\to0}\frac{(\cos(y)-\sin(y)-1)(\cos(y)+\sin(y))}{-2 \sin(y)} \\ & = \frac{-1}{2} \lim_{y\to0} \left( \,\frac{\cos(y) - 1}{y}\,\frac{y}{\sin(y)}- 1\right)(\cos(y)+\sin(y)) \\ & = \frac{-1}{2}\left(\cos'(0)\,\frac{1}{\sin'(0)}-1\right)(\cos(0)+\sin(0)) \\ & = \;\cdots \end{align} $$

Answer 4

Creo que conoces la regla de L'Hospital. Deja que $\ f(x) = \sqrt{2}\cos{x}-1\ $ , $\ g(x) = \cot{x} -1\ $ Entonces las derivadas de estas funciones son: $\ f^{'}(x) =-\sqrt{2}\sin{x} $ , $ \ g(x) = \large - \frac {1}{sin^{2}{x}}\ $
El límite es: $ lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\sqrt{2}\sin^{3}{x} = \frac {1}{2}\ $