La prueba estándar del teorema de convergencia monótona para la medida de Lebesgue escoge una función simple $\phi$ que está uniformemente acotado por encima del límite puntual $f$ de la secuencia monótona creciente de funciones medibles positivas (de Lebesgue) $\{f_n \}$ en cuestión; fijando un $k \in (0,1)$ conjuntos de la forma $E_n = \{x \in \mathbb{R} : f_n(x) \geq k\phi(x)\}$ se afirma que es una secuencia creciente de conjuntos medibles que cubren todo el espacio (los reales). (Aquí se nos escapa una pregunta rápida: ¿por qué utilizamos $k$ ¿en absoluto? ¿Es para que siempre podamos "colar" elementos en $E_n$ por si acaso $\phi=f$ ?)
Creo que la afirmación de que los conjuntos son medibles se basa en la completitud de la medida de Lebesgue; ¿podría alguien confirmarlo? ¿Puede adaptarse esta prueba a medidas no completas (por ejemplo, la medida de Borel)? ¿Para qué tipo de medidas sobre los reales se cumple el teorema de convergencia? ¿Existe un análogo del teorema para medidas sobre otros campos ordenados que posean la propiedad de límite superior mínimo?
