Demuestre si $\sum\limits_{n=1}^ \infty a_n$ converge, { $b_n$ } está acotada y es monótona, entonces $\sum\limits_{n=1}^ \infty a_nb_n$ converge.

Question

Demostrar que si $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty a_n$ converge, y { $b_n$ } está acotado y es monótono, entonces $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty a_nb_n$ converge.

No, $a_n, b_n$ no son necesariamente números positivos.

He intentado utilizar la prueba de Dirichlet, pero no tengo forma de demostrar que $b_n$ va a cero. Si cambio $a_n$ y $b_n$ en la prueba de Dirichlet, puedo mostrar $a_n$ va a cero, pero entonces tengo problemas para mostrar que $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty \left\lvert a_{n+1}-a_{n}\right\rvert$ converge (porque $a_n$ no es necesariamente monótona).

Answer 1

Esquema: De hecho, la clave es utilizar la prueba de Dirichlet (también conocida como El resumen de Abel en su núcleo) como usted pretendía:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^N a_n b_n &= \sum_{n=1}^N (A_n-A_{n-1}) b_n = A_Nb_N + \sum_{n=1}^{N-1} A_n b_n -\sum_{n=1}^{N-1} A_n b_{n+1} \\ &= A_Nb_N + \sum_{n=1}^{N-1} \underbrace{A_n}_{\text{bounded}} \underbrace{(b_n -b_{n+1})}_{\text{constant sign}} \end{align}$$ donde $A_n \stackrel{\rm def}{=} \sum_{n=1}^{N} a_n$ y $A_0=0$ .

Ahora, esto no funciona del todo: la cuestión se reduce al hecho de que, al final, no se puede confiar en $b_n\xrightarrow[n\to\infty]{} 0$ ya que efectivamente no es necesariamente cierto . Pero tú necesito esto para que el argumento pase.

Para evitarlo, observe que $(b_n)_n$ es una secuencia monótona acotada, y por lo tanto es convergente. Sea $\ell\in\mathbb{R}$ sea su límite.

Ahora puede definir la secuencia $(b^\prime_n)_n$ por $b^\prime_n \stackrel{\rm def}{=} b_n-\ell$ . Se trata de una secuencia acotada monótona convergiendo a $0$ y $$ \sum_{n=1}^N a_n b^\prime_n = \sum_{n=1}^N a_n b_n - \ell \sum_{n=1}^N a_n. $$ El segundo término es una serie convergente por suposición en $(a_n)_n$ , mostrando así la convergencia de la serie $ \sum a_n b_n$ equivale a mostrar la convergencia de la serie $\sum a_n b^\prime_n$ . Aplique su idea (la suma de Abel) sobre esta última.