Desmitificar el enfoque caratológico de la mensurabilidad

Question

Hoy en día, la forma habitual de extender una medida sobre un álgebra de conjuntos a una medida sobre un $\sigma$ -de la álgebra, el enfoque de Caratheodory, es mediante el uso de la medida externa $m^*$ y luego tomar la familia de todos los conjuntos $A$ satisfaciendo $m^* (S)=m^* (S\cap A)+m^* (S\cap A^c)$ para cada conjunto $S$ para ser la familia de conjuntos medibles. Se puede demostrar entonces que esta familia forma una $\sigma$ -y el álgebra $m^*$ restringido a esta familia es una medida completa. El enfoque es elegante, corto, utiliza sólo métodos elementales y es bastante potente. También se considera, casi universalmente, como completamente poco intuitivo (basta con buscar en Google "Caratheodory unintuitve" ).

Dado que el problema de la extensión de las medidas es fundamental para toda la teoría de la medida, me gustaría saber si alguien puede aportar una perspectiva que haga natural e intuitivo el enfoque de Caratheodory.

Estoy familiarizado con el hecho de que existe una aproximación topológica al problema de la extensión (ver aquí o texto del enlace ) para el $\sigma$ -El caso finito se debe a M.H. Stone (Maharam ha demostrado cómo extenderlo a la caso general ), pero no da mucha idea de por qué el enfoque de Caratheodoy funciona y eso es lo que me interesa aquí.

Answer 1

He aquí un argumento que puede dar alguna intuición:

Supongamos que $m^{*}$ es una medida externa en $X$ y supongamos además que esta medida exterior es finita:

$m^* (X) < \infty$

Definir una "medida interior" $m_*$ en $X$ por

$m_* (E) = m^* (X) - m^* (E^c)$

Si $m^*$ fue, digamos, inducido a partir de una medida contablemente aditiva definida sobre algún álgebra de conjuntos en $X$ (como la medida de Lebesgue se construye utilizando el álgebra de uniones disjuntas finitas de intervalos de la forma $(a,b]$ ), entonces un subconjunto de $X$ será medible en el sentido de Caratheodory si y sólo si su medida exterior y su medida interior coinciden.

Desde este punto de vista, la construcción de la medida (así como la $\sigma$ -de conjuntos medibles) no es más que una generalización de la construcción natural de la integral de Riemann sobre $\mathbb{R}^n$ - se trata de aproximar el área de un conjunto acotado $E$ desde el exterior utilizando un número finito de rectángulos, y de forma similar desde el interior, y el conjunto es "medible en el sentido de Riemann" (o "medible de Jordan") si la mejor aproximación exterior de su área coincide con la mejor aproximación interior de su área.

El punto aquí (que a menudo no se enfatiza cuando se enseña la integración de Riemann por primera vez) es que el concepto de "área interna" es redundante y puede definirse en términos del área externa tal como lo hice anteriormente (se toma algún rectángulo que contenga el conjunto y se considera la medida externa del complemento del conjunto con respecto a este rectángulo).

Por supuesto, la construcción de Caratheodory no requiere $m^*$ para ser finita, pero sigo pensando que esto da alguna intuición decente para el caso general (a menos que pienses que la construcción de la integral de Riemann en sí misma no es intuitiva :) ).

Answer 2

Cuando esta definición surgió en el (único) curso de teoría de la medida que tomé como estudiante, el instructor (Peter Constantin) dijo lo siguiente al respecto:

"Dice que un conjunto es medible si puedes hacer cambios con él".

Esta explicación se me ha quedado grabada en la mente durante los últimos 15 años, pero es posible que la haya recordado en parte porque nunca estuve muy seguro de entender lo que quería decir. En cualquier caso, suena bien, y si alguna vez enseño un curso de teoría de la medida (tiemblo al imaginar el escenario apocalíptico que requeriría que yo tuviera que hacer esto: ¿habrá algún otro matemático? ¿de qué color será el cielo?) Puede que lo transmita a mis alumnos.

Answer 3

Aunque estoy de acuerdo, recordemos que "ser intuitivo" es una cuestión bastante relativa. En el caso que nos ocupa, me parece que el arreglo de Carathéodory es óptimo: máximo efecto, mínimo esfuerzo; máxima generalidad, mínima estructura. Para quien se acerque al tema, y lo encuentre poco intuitivo, sólo le diría (en el espíritu del célebre lema de D'Alembert "adelante y la fe seguirá"): Es una buena oportunidad para entrenar la intuición y, también, para aprender algunas técnicas elementales. La teoría de la medida, en su parte elemental, es sobre todo una cuestión de " $\epsilon\, 2^{-n}$ " (si sabes lo que quiero decir). Por último, para entrar aún más en los detalles de la construcción, recomendaría probar que la definición de mensurabilidad à la Carathéodory sale en realidad caracterizando la mayor $\sigma$ -donde una medida externa se restringe a una medida. Esto hace que sea menos fuera de lo común, si no inmediatamente intuitivo.

Answer 4

Hay una interesante exposición sobre el problema de la medida de extensión proporcionada por Jun Tanaka y Peter F. McLoughlin en Una realización de conjuntos medibles como puntos límite .
Resumen: Partiendo de una medida sigma finita sobre un álgebra, definimos una pseudometría y mostramos cómo los conjuntos medibles del Teorema de Extensión de Caratheodory pueden pensarse como puntos límite de secuencias de Cauchy en el álgebra.

El artículo puede descargarse de arxiv en http://arxiv.org/abs/0712.2270

Answer 5

He encontrado este enlace en el blong de Terence Tao sobre lo mismo.

Maharam, Dorothy De la aditividad finita a la contable. Port. Math. 44, 265-282 (1987).

http://purl.pt/3098

El blog original:

http://terrytao.wordpress.com/2009/01/03/254a-notes-0a-an-alternate-approach-to-the-caratheodory-extension-theorem/