Comprensión del ejemplo de Supspace

Question

Dejemos que $V$ = $K^{n}$ y que $W$ sea el conjunto de vectores en $V$ cuya última coordenada es igual a $0$ . Entonces $W$ es un subespacio de $V$ que podríamos identificar con $K^{n-1}$ .

Mi pregunta es que por qué la última coordenada es igual a $0$ ? ¿Puede ser que cada vez sea igual a $0$ ? Por último, ¿por qué podríamos identificarnos con $K^{n-1}$ (No entendí realmente)?

Answer 1

Somos definir $W$ para ser todos los vectores en $V$ con $0$ última coordenada. Se puede comprobar que si se multiplica un vector $w \in W$ entonces todavía tiene la última coordenada $)$ y si se suman dos vectores $w, w' \in W$ , entonces la suma $w + w'$ todavía tiene la última coordenada $0$ . Por lo tanto, $W$ es un subespacio.

Cuando decimos que podemos identificar $W$ con $K^{n - 1}$ queremos decir que hay una transformación lineal $T : K^{n - 1} \to W$ que es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Tal transformación se llama isomorfismo. Significa que $W$ y $K^{n - 1}$ aunque los elementos en ellos no son precisamente iguales, los dos espacios vectoriales tienen la misma estructura exacta, y por lo tanto son esencialmente los mismos.

Answer 2

Siempre es mejor tener en cuenta los ejemplos. Dejemos que $V = \mathbb{R}^3$ y $W = \{(x,y,z): z = 0\}$ entonces podemos identificar $W$ con $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}^{3-1}$ .

Así que, en general, si $V = \mathbb{K}^n = \{(k_1,...,k_n): k_i \in K\}$ y $W = \{(k_1',...,k_n'): k_i \in K, k_n' = 0\}$ entonces existe un isomorfismo entre $W$ y $\mathbb{K}^{n-1}$ a saber,

$$(k_i',...,k_{n-1}',0) \mapsto (k_i',....,k_{n-1}')$$