Relación entre $Aut(G)$ y el grupo simétrico en $G$

Question

He leído que $Aut(G)$ es un subconjunto de $S_g$ .

Digamos que tengo un grupo $G = \{1, 2, 3\}$ por ejemplo. Entonces $S_G = S_3$ es el grupo de todas las permutaciones de los tres elementos de $G$ .

Pero no veo por qué $Aut(G)$ es un subconjunto de $S_G$ en lugar de $Aut(G) = S_G$ .

Cada elemento de $S_3$ asigna cada elemento de $G$ a un elemento de $G$ . Es decir, cada elemento es un automorfismo. Entonces, ¿por qué $Aut(G) \subset S_3$ en lugar de $Aut(G) = S_3$ ?

Answer 1

Hay elementos en $\,\operatorname{Sym}_G\,$ que no son automorfismos del grupo $\,G\,$ , digamos que la permutación $\,(01)\,$ en $\,S_3\,$ no es un automorfismo del grupo cíclico $\,\Bbb Z_3:=\Bbb Z/3\Bbb Z:=\{0,1,2\}\,$ con operación modulo $\,3\,$

Answer 2

(Estoy asumiendo que $G$ aquí hay un grupo, pero ahora noto que no lo dice explícitamente. Si $G$ es no considerado como un grupo, entonces hay que preguntarse qué hace $\operatorname{Aut}(G)$ significa en absoluto).

Simplemente "mapear cada elemento de $G$ a un elemento de $G$ "no es suficiente para ser un automorfismo. Un automorfismo es una biyección $G\to G$ que es también un homomorfismo. La mayoría de los elementos de $S_3$ no corresponderá a homomorfismos $G\to G$ .