Independencia de la base de la mecánica cuántica

Question

La idea de que el estado de un sistema no depende de la base de que elegimos para representar, siempre me desconcertó. Físicamente me imagino que la base debería simplemente producir una representación equivalente del sistema, pero no puedo convencerme a mí misma de esta independencia. Me disculpo por el carácter ingenuo de este post.

Por ejemplo, en la mayoría de los QM libros que frecuentemente viene a través de declaraciones tales como: "El estado del sistema se representa por un vector (o ket) $|\psi\rangle$ en el correspondiente espacio de Hilbert", o que "unvector no es la misma cosa que el conjunto de sus componentes en una base". Físicamente esto significa que, por ejemplo, el impulso a $\mathbf{p}$ de un sistema no debe depender de la forma en que elegimos para orientar los ejes de nuestra base.

Es una idea abstracta que el estado es sólo un vector de mentir en todo el espacio de Hilbert (que comprende el conjunto de todos los vectores propios de las características observables que describen el sistema). ¿Cómo puedo escribir o hablar de esto $|\psi\rangle$ sin tener una base para que la represente en. Tan pronto como me quieren decir nada sobre esta $\psi$, por ejemplo, sus normas, voy a necesitar de sus componentes en alguna base, para calcular el $\sqrt{\langle \psi|\psi \rangle}.$

1. Así que ¿qué debo saber acerca de la $|\psi\rangle$ sin un elegido? ¿Cómo puedo expresar que el conocimiento (de $\psi$) sin una base?
2. Es esta independencia mejor ilustrado cuando uno considera el hecho de que el conjunto de autovalores para cualquier observable del sistema, son los mismos, independientemente de la base?
3. ¿Por qué parece tan difícil de imaginar espacios vectoriales, o vectores de la mentira en resumen alta dimensión de los espacios ($|\psi\rangle \in \mathcal{H}$), sin una base? ¿En qué sentido podemos decir que un vector es más que sólo sus componentes $(\langle v_1|\psi\rangle, \langle v_2|\psi\rangle, \dots)$?
4. Pero tan pronto como me desea calcular se superpone como $\langle v_1|\psi\rangle$ o de normas $||\psi||$ necesito los componentes de $|\psi\rangle$ en alguna base. Entonces, ¿cómo puedo convencerme de que no importa qué elijo, este resumen $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ no dependen de él?
5. Por último, ¿cómo debo interpretar $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ sin la necesidad de tener un observable en mente? (es decir, la declaración general de que el estado del sistema se encuentra en el espacio de Hilbert).

Answer 1

El estado es un vector en el espacio de Hilbert de la de Hamilton, lo que le da una base natural en términos de los vectores propios; distintos autovalores, a continuación, existen en distintos (ortogonal) subespacios - para degenerar valores de los subespacios son más grandes, pero todavía son distintos de todos los demás. Claramente esta situación da muchas ventajas en el análisis.

Sin embargo, esta representación, aunque natural, y depende únicamente de la descomposición espectral de la Hamiltoniana, no es única. Los experimentales se prefiere establecer una base que corresponda a su instalación experimental! Eligiendo una base diferente va a cambiar todo de las coordenadas, pero no cambia los estados.

Para aclarar este punto recordar que el estado vectores de nuestro espacio de Hilbert también se puede ver como los rayos, que son similares a la geometría de los rayos de la geometría Euclidiana. Imaginar el rayo primero, y luego superponer una rejilla, como girar la rejilla sobre el origen de los rayos de las intersecciones de la cuadrícula con el rayo definir las coordenadas de esa base. Las coordenadas cambio, pero el rayo no cambia. Para el común de la geometría de las relaciones entre los dos rayos (ángulos, proyecciones) no cambian, por lo que es claro que algunas de las relaciones entre las coordenadas son fijos - son las propiedades de un espacio métrico.

Nuestro espacio de Hilbert es una normativa espacio - distancias no significan nada, pero un normalizados del estado de vector siempre tiene una longitud de 1, incluso cuando se cambia la base, ni el cambio de longitud bajo unitario operadores - de ahí su nombre.

Todo esto pone de manifiesto en un buen curso de álgebra lineal.

Answer 2

$\newcommand{\real}{\mathbb R}\newcommand{\field}{\mathbb F}\newcommand{\cx}{\mathbb C}\newcommand{\ip}[2]{\left< #1,#2\right>}$Tenemos que bucear en matemáticas de los espacios vectoriales y el interior de los productos con el fin de entender lo que es un vector significa y qué es lo que significa tomar un producto escalar de dos vectores. Hay un post largo por delante así que tengan paciencia conmigo aunque usted puede pensar que la matemática es demasiado abstracto y no tiene nada que ver con la gestión de calidad. En realidad, sin entender el concepto abstracto de espacios vectoriales es casi imposible entender QM fondo.

Espacios Vectoriales

Pasemos al álgebra lineal y creo que por un segundo de lo que significa un espacio vectorial $V$ en un campo de $(F,+ , \cdot , 0 ,1)$. Se compone de un conjunto $V$, un campo de $F$ una multiplicación escalar $ \odot : F \times V \to V$, $(\lambda , v) \mapsto \lambda \odot v$ y de adición de vectores $ \oplus : V \times V \to V $, $ (v,w) \mapsto v \oplus w $, que tiene las siguientes propiedades:

• $(V, \oplus, \tilde 0)$ es un grupo abelian
• $\forall v,w \in V$ $\forall \lambda \in F: \; \; \lambda \odot (v \oplus w) = \lambda \odot v \oplus \lambda \odot w$
• $ \forall v \in V$ $\forall \lambda, \mu \in F: \; \; (\lambda + \mu) \odot v = \lambda \odot v \oplus \mu \odot v $
• $\forall v \in V: \; \; 1 \odot v = v$

Tenga en cuenta que la suma en el tercer axioma se lleva a cabo en $F$ en el lado izquierdo y en $V$ en el lado derecho. Así que un espacio vectorial realmente puede ser cualquier cosa, con estas propiedades. Normalmente, las personas no distinguen entre las $\odot$ $\cdot$ o $\oplus$ $+$ debido a que muestran propiedades similares. Por el bien de estar absolutamente claro que voy, no obstante, hacer esta distinción. Si te reemplace $\oplus \to +$ $\odot \to \cdot$ en su cabeza. Los elementos de las $V$ se llama vectores y no dije nada de una cosa que se llama base para definir.

Base y Generadores

La base de un vector se define un conjunto $B \subseteq V$ que tiene las dos propiedades siguientes:

$$\forall B' \subseteq B\; \text{ with }\; \# B' < \infty: \; \; \bigoplus_{b \in B'} \lambda_b \odot b = \tilde 0 \implies \lambda_b = 0$$

donde $\lambda_b \in F$ y $$ \forall v \in V, \; \exists B' \subseteq B \; \text{ with }\; \# B' < \infty:\;\; v = \bigoplus_{b \in B'} \lambda_b \odot b$$

para algunos $\lambda_b \in F$.

Un conjunto $U \subseteq V$ con la primera propiedad es lineal independiente y un conjunto de $T \subseteq V$ con la segunda propiedad se llama el generador del espacio vectorial. Tiene usted a saber

$$B \text{ is a basis} :\iff B \text{ is a generator of the vector space and linear independent}$$

En una clase de álgebra lineal se muestra que todas las bases de $V$ tiene la misma cardinalidad. Definimos lo que hay para la dimensión de $V$ $\mathrm{dim}(V)=\#B$ $B$ siendo una base de $V$.

Representación de un vector como tupla

Si el espacio vectorial es finito dimensionales, es decir si $\mathrm{dim}(V)< \infty$, entonces usted puede simplificar las anteriores condiciones como:

$$\bigoplus_{b\in B} \lambda_b \odot b = \tilde 0 \; \text{and} \; \forall v\in V: \; \; v= \bigoplus_{b\in B} \lambda_b \odot b$$

En un curso de álgebra lineal se enseñó que todo espacio vectorial finito (o infinito) $V$ tiene una base y un elegido base a los escalares $\lambda_b$ es único. Una base se llama una orden de base si se ordenan los elementos de su base en una tupla. Si el espacio vectorial es finito dimensionales, y $B$ es una base de la orden se puede definir un espacio vectorial isomorfismo $\iota_B$

$$\iota_B : V \to F^n, \; v = \bigoplus_{b \in B} \lambda_b \odot b \mapsto (\lambda_{b_1}, \dots, \lambda_{b_n}) $$

donde $b_i \in B$ $\forall i = 1 \dots n$ y $n = \#B$. Allí se puede ver los componentes del vector de $b$, como los números de $\lambda_{b_i} \in F$. Tenga en cuenta que aunque la representación de un vector $v \in V $ como una n-tupla es único para una determinada base, no existe una única representación para el vector $v \in V$ para todas las bases. Como un ejemplo se considera el conjunto de $V:=\real^2$ $F:=\real$ espacio vectorial, donde $\oplus$ $\odot$ se definen de la siguiente manera. Voy a indicar los elementos de $V$ con corchetes y sus representaciones normal con soportes para evitar la confusión. $$[a,b] \oplus [c,d] = [a+c, b+d]$$ and $$\lambda \odot [a,b] = [\lambda \cdot a, \lambda \cdot b]$$ for all $a,b,c,d \in F$ and $[a,b],[c,d] \in V$. I leave you to check the vector space axioms. Note that whilst writing $[a,b] \en \real^2$ I'm not referring to any basis. It is merely a definition of being in $\real^2$ that let's me write $[a,b]$.

Ahora vamos a $B=\{b_1,b_2\}$$b_1 = [1,0]$$b_2=[1,0]$. Tenga en cuenta que $\lambda \odot b_1 \oplus \mu \odot b_2 = [0,0] \implies \mu= \lambda =0 $ $B$ es lineal independiente. Además $[a,b] = a \odot b_1 + b \odot b_2$, $\forall [a,b] \in V $ como se puede comprobar fácilmente. Así, el isomorfismo $\iota_B$ bien definido y se obtiene

$$\iota_B([a,b]) = (a,b) \;\; \forall [a,b] \in V$$

Sin embargo, para otro Fundamento $C=\{c_1, c_2\}$ $c_1 =[-1,0]$ $c_2=[0,2]$ consigue:

$$\iota_C([a,b])=(-a,b/2) \;\; \forall [a,b] \in V$$

como se puede comprobar fácilmente.

Tenga en cuenta que en este ejemplo sus vectores $[a,b]\in \real^2$, que existe como un elemento de $\real^2$ independiente de cualquier base.

Otro ejemplo de una $n$-dimensional espacio vectorial podría ser la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de grado $n$. Usted debe jugar con él elija alguna base y representarlos como tuplas. Tenga en cuenta que, en este caso los vectores de funciones, que resolver particular de la ecuación diferencial.

En el caso de un infinito dimensional espacio vectorial las cosas se ponen un poco difícil, pero para entender la base del concepto finito dimensionales espacios vectoriales son la mejor manera de ir.

Interior/producto Escalar

Deje $V$ ser un espacio vectorial, y $\field = \{\real, \cx\}$ ser reales o números complejos. Además ahora voy reemplace $\otimes \to +$ $\odot \to \cdot$ para hacer mi punto más claro. Producto por un escalar es una función $\ip \cdot \cdot: V \times V \to \field$, $(v,w) \mapsto \ip vw$ con las siguientes propiedades:

• $\forall v_1,v_2,w \in V, \; \forall \lambda \in \field: \;\; \ip{v_1 + \lambda v_2} w = \ip{v_1} w + \lambda^* \ip{v_2}w $
• $\forall v,w_1,w_2 \in V, \; \forall \lambda \in \field: \;\; \ip{v}{ w_1 + \lambda w_2} = \ip{v}{ w_1} +\lambda \ip{v}{w_2}$
• $\forall v,w \in \field: \;\;\ip vw = \ip wv^*$
• $\forall v \in V\setminus\{0\}:\;\; \ip vv \in \real_{>0}$

De nuevo, tenga en cuenta que $\ip \cdot\cdot$ podría ser cualquier función con estas propiedades. Además no necesita una base de $V$ a definir el producto escalar, por lo que no puede ser el dependiente de la base elegida. Un espacio vectorial con un producto escalar se llama un producto interior en el espacio.

Como ejemplo tomemos los polinomios de grado $\leq n$, definida en un intervalo $I\subset\real$. Se puede mostrar fácilmente que $$V:=\{P:I \to \real \, | \, P \text{ is a polynomial and degree of } P \leq n\}$$ es un espacio vectorial. Además definimos

$$\forall P,Q \in V\;\; \ip PQ_1 := \int_0^1 P(x) \cdot Q(x) \, \mathrm d x $$

Tenga en cuenta que esta función es válida producto escalar en $V$. Sin embargo también puedo definir $$\forall P= p_n x_n + \dots + p_0 , \,Q = q_n x_n + \dots q_0 \in V \;\; \ip PQ_2 := p_nq_n + \dots + p_0 q_0 $$

que también es una buena definición para un producto escalar. De nuevo no me estoy refiriendo a cualquier base como escribo $P= p_n x_n + \dots + p_0$. Es simplemente una definición de ser en $V$. Es evidente que no es el único producto escalar definido en un determinado espacio vectorial.

Representación de $\ip \cdot \cdot$ wrt una Base

Ahora bien, si he de elegir una ordenó base $B$ $V$ entonces puede simplificar mi vida un poco. Deje $v\in V$$v= \sum_{i=1}^n v_i b_i$$w\in V$$w = \sum_{j=0} ^n w_i b_i$. Entonces puedo escribir:

$$\ip vw = \ip{\sum_{i=1}^n v_i b_i}{\sum_{j=0} ^n w_j b_j} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n v_i^* w_j \ip {b_i} {b_j}$$

Ahora puedes ver que esto se parece a una matriz de producto de $\iota_B(v)^\dagger \cdot A \cdot\iota_B(w) $ donde $A=(a_{ij}):=\ip{b_i}{b_j}$. Tenga en cuenta que esta representación de $\ip\cdot \cdot$ depende de la base elegida. Después de haber elegido una base sin embargo, usted puede hacer la multiplicación de la matriz para obtener el producto escalar.

Para el ejemplo anterior con polinomios y el producto interior $\ip \cdot \cdot _2$, si se elige la base para ser$b_i = x^i$, entonces se puede obtener por $A = \mathrm{diag}(1, \dots, 1)$

El Espacio De Hilbert

Un espacio de Hilbert es un producto interior espacio y como un espacio métrico se completa con la métrica inducida por el producto escalar. Esto significa que la norma se define por $\lVert v \rVert := \sqrt{\ip vv}$ y la métrica se define por $d(v,w):= \lVert v-w \rVert$. Por lo que significa para un espacio para ser completa se puede consultar el artículo de Wikipedia.

Resultado

No es muy clara la distinción entre el vector a sí mismo como un elemento del conjunto a $V$ y su representación como una tupla en $F^n$ con respecto a una base $B$$V$. El vector propio existir independientemente de cualquier base, mientras que la representación del vector es dependiente de la base. Lo mismo va para el producto escalar y su representación.

En la física de uno automáticamente asume el estándar de base para $\real^n$, lo que ha vectores con ceros en todas partes, excepto para uno de los componentes, que es igual a uno, y calcula todo en la representación de los vectores sin especificar ninguna base, que a su vez crea la ilusión de que los vectores son sus componentes y un vector sin su componente es inimaginable.

Dado un espacio vectorial pueden ser casi cualquier cosa, es muy difícil imaginar lo que un vector es, sin referencia a sus componentes. La mejor manera de hacerlo que en mi opinión es aceptar el hecho de que un vector es sólo un elemento del conjunto a $V$ y nada más. Por ejemplo, si escribimos

$$\left|\psi \right> = c_1 \left|+ \right> + c_2 \left| - \right>$$

usted apenas decir que $\left| \psi \right>$ se puede escribir como una combinación lineal de $\left| \pm \right>$. Así que esto no se refiere a cualquier base. Sin embargo, el momento de escribir

$$\left|\psi \right> = c_1 \left|+ \right> + c_2 \left| - \right> = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

primero de todo, un matemático muere a causa de $\left|\psi \right> = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$ no tiene ningún sentido como $\left|\psi \right> \in \mathcal H$$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \in \cx^2$. Independientemente de que $\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$ se refiere a una ordenó a base de $\mathcal H$ es decir, la base $B=\{\left|+ \right>, \left|- \right> \}$ e esta representación depende de la base que has elegido.

Answer 3

Supongamos $\left\{\left|e_i\right\rangle|i\in I\right\}$ es un ortonormales base de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, viz. $\left\langle e_i |e_j\right\rangle =\delta_{ij}$. A continuación, la identidad del operador de $\mathcal{H}$ $\mathcal{H}$puede ser escrito como una exterior el producto $$\mathbb{I}=\Sigma_{i\in I}\left|e_i\right\rangle\left\langle e_i\right|\quad\left(\ast\right),$$because kets then satisfy $\izquierda|\psi\right\rangle=\Sigma_{i\in I}\left|e_i\right\rangle\left\langle e_i|\psi\right\rangle$, y de manera similar con bras.

Si $\left\{\left|f_j\right\rangle|j\in I\right\}$ es otro ortonormales base, podemos escribir $\left|e_i\right\rangle = \Sigma_{j\in I} U_{ij}\left|f_j\right\rangle$ $U_{ij}$ unitaria de la matriz, de modo que $\left|e_i\right\rangle = \Sigma_{k\in I}\delta_{ik}\left|e_k\right\rangle,\,\left|f_j\right\rangle = \Sigma_{l\in I}\delta_{jl}\left|f_l\right\rangle$. Por lo tanto $\left\langle e_i\right| = \Sigma_{j\in I}U_{ij}^\ast\left\langle f_j\right|=\Sigma_{j\in I}\left(U^\dagger\right)_{ji}\left\langle f_j\right|$. Finalmente, $$\Sigma_{i\in I}\left|e_i\right\rangle\left\langle e_i\right|=\Sigma_{i,\,j,\,k\in I}\left(U^\dagger\right)_{ki}U_{ij}\left|f_j\right\rangle\left\langle f_k\right|=\Sigma_{j,\,k\in I}\delta_{kj}\left|f_j\right\rangle\left\langle f_k\right|=\Sigma_{j\in I}\left|f_j\right\rangle\left\langle f_j\right|,$$ so our two "identity operators" match. Thus either can be used to compute a ket as per Eq. $\a la izquierda(\ast\right)$; la base de la elección no importa.

Answer 4

Es difícil de imaginar las cosas que usted desea, porque usted está trabajando en un infinito espacio tridimensional, y yo no conozco a nadie que de manera intuitiva se puede " ver " en que tipo de espacio.

En su lugar, vamos a considerar un número finito de dimensiones del espacio: la polarización de una masa de spin 1 de partículas que viajan a lo largo de la $z$ eje. El estado de polarización es simplemente descrito por un vector unitario en la $xy$ plano. El 'sentido geométrico" de que el estado es sólo la dirección que indica la flecha, es decir, la dirección de la polarización. El producto interior entre dos estados, es, simplemente, $\cos^{-1}(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos; esto es claramente base independiente.

Las computadoras cuánticas los científicos tienen una similar de visualización, donde se trama el estado de qubits en la esfera de Bloch. No es tan bueno como el de nuestra imagen, porque es adecuado para la polarización de espín 1/2 partículas, por lo que todos los ángulos obtener duplicado. Aún así, ofrece una imagen geométrica de 'lo que el estado es" sin tener que elegir una base.

Es mucho más difícil ver estas cosas en un infinito espacio tridimensional, pero las matemáticas que se sigue manteniendo.