si $a^2+b^3+c^4+2019\ge k(a+b+c)$ encontrar el máximo de la $k$

Question

Dejemos que $k$ sean enteros positivos, y para cualquier número real positivo $a,b,c$ tal $$a^2+b^3+c^4+2019\ge k(a+b+c)$$

encontrar el máximo de $k$ .

Parece que utiliza la desigualdad AM-GM para resolverlo, pero no puedo encontrar cuando es $=?$ . Así que no puedo resolverlo. ¿Puedes ayudarme?

¿O hay alguna forma general de averiguar esta desigualdad no homogénea? La multiplicación lagrangiana no parece ser capaz de manejar este problema porque la ecuación derivada obtenida es difícil de resolver dejemos que $$f(a,b,c)=a^2+b^3+c^4+2019-k(a+b+c)$$ entonces $$f'_{a}=2a-k=0$$ $$f'_{b}=3b^2-k=0$$ $$f'_{c}=4c^3-k=0$$ por lo que tenemos $$2a=3b^2=4c^3$$ entonces qué $a,b,c$ puede encontrar el máximo de la $k?$ Gracias

Answer 1

Para $(a,b,c)=(40,5,3)$ obtenemos $k<80.$

Demostraremos que $k=79$ es válido, para lo cual necesitamos demostrar que $$a^2+b^3+c^4+2019\geq79(a+b+c)$$ o $$(a^2-79a+1561)+(b^3-79b+271)+(c^4-79c+187)\geq0,$$ que es cierto por AM-GM.

¿Puedes terminar ahora?

El juego con estos números lo puedes hacer de la siguiente manera.

Lo tienes por $a=\frac{k}{2}$ , $b=\sqrt{\frac{k}{3}}$ y $c=\sqrt[3]{\frac{k}{4}}$ obtenemos un punto crítico.

En este punto debería estar: $$\left(\frac{k}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{\frac{k}{4}}\right)^4+2019-k\left(\frac{k}{2}+\sqrt{\frac{k}{3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{4}}\right)\geq0.$$ Ahora, podemos ver que para $k=79$ esta desigualdad sigue siendo cierta, pero para $k=80$ está mal.

Así, para el punto crítico, cuando $k=79$ obtenemos: $$(a,b,c)=\left(39.5, 5.13..., 2.70...\right)\approx(40,5,3)$$ y desde aquí puedes obtener una prueba.