Tasa de convergencia: Procesos de Poisson en competencia

Question

Estoy analizando una de las propiedades del proceso de Poisson, la de los procesos en competencia:

Supongamos que $N_1(t), t \geq 0$ y $N_2(t), t \geq 0$ son procesos de Poisson independientes con tasas respectivas $\lambda_1$ y $\lambda_2$ . Sea $S_n^i$ sea la hora del $n$ el evento del proceso $i, i = 1,2$ .

Sabemos que $P[S_n^1 < S_m^2] = \sum_{k=n}^{n+m-1} {n+m-1 \choose k} \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^k \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^{n+m-1-k}$ . Me interesa el caso en el que $n=m$ y $n \rightarrow \infty$ . Esto converge a 1, y mi intuición es que la tasa de convergencia depende de la relación $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ pero me cuesta probarlo. Cualquier idea sobre una forma cerrada de la tasa de convergencia sería genial.

Answer 1

Primera escritura $$S_n^1 = X_1^1 + X_2^1 + X_3^1 + \cdots ,$$ donde el $X_k^1$ son variables aleatorias exponenciales i.i.d. con función de densidad $f_{X_1^1 } (x) = \lambda _1 e^{ - \lambda _1 x}$ , $x > 0$ y $$S_n^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \cdots ,$$ donde el $X_k^2$ son variables aleatorias exponenciales i.i.d. con función de densidad $f_{X_1^2 } (x) = \lambda _2 e^{ - \lambda _2 x}$ , $x > 0$ , independiente también de la $X_k^1$ . Ahora dejemos que $Y_k = X_k^1 - X_k^2$ . Entonces, $${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) = {\rm P}(Y_1 + \cdots + Y_n < 0).$$ A continuación, observe que el $Y_k$ son variables aleatorias i.i.d. con media $$\mu = {\rm E}(Y_1) = {\rm E}(X_1^1 ) - {\rm E}(X_1^2 ) = \frac{1}{{\lambda _1 }} - \frac{1}{{\lambda _2 }}$$ y la varianza $$\sigma^2 = {\rm Var}(Y_1) = {\rm Var}(X_1^1 ) + {\rm Var}(X_1^2 ) = \frac{1}{{\lambda _1^2 }} + \frac{1}{{\lambda _2^2 }}.$$ Mantiene $$\frac{\mu }{\sigma } = \frac{{\lambda _2 - \lambda _1 }}{{\lambda _1 \lambda _2 }}\frac{{\lambda _1 \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }} = \frac{{\lambda _2 - \lambda _1 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }}.$$ Ahora dejemos que $\tilde S_n = Y_1 + \cdots + Y_n$ y $Z_n = \frac{{\tilde S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }}$ . Entonces, $${\rm P}(Y_1 + \cdots + Y_n < 0) = {\rm P}\bigg(\frac{{\tilde S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }} < \frac{{ - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }}\bigg) = {\rm P}\bigg(Z_n < \frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _1^2 } }}\sqrt n \bigg).$$ Por el teorema del límite central, $Z_n$ converge en su distribución a la ${\rm N}(0,1)$ distribución. (Así que si $\lambda_1 > \lambda_2$ la última probabilidad, que es igual a ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ , tiende a $1$ como $n \to \infty$ .) Esto puede ayudar a deducir el comportamiento asintótico de ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ .

EDITAR:

Así que lo anterior da lugar a la aproximación $${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) \approx \Phi \bigg(\frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2} }}\sqrt n \bigg),$$ donde $\Phi$ es la función de distribución del ${\rm N}(0,1)$ distribución. Por supuesto, la calidad de la aproximación depende de los parámetros involucrados. Podemos comprobarlo comparando con los resultados obtenidos en las simulaciones de Montecarlo. [La probabilidad ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ se puede aproximar fácilmente y con precisión utilizando la simulación de Monte Carlo, observando que una variable aleatoria exponencial con función de densidad $f_{X} (x) = \lambda e^{ - \lambda x}$ , $x > 0$ se puede generar como $-\ln(U)/\lambda$ , donde $U$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ .] Definir la cantidad $\zeta = \zeta (n,\lambda_1,\lambda_2)$ por $$\zeta = \frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }}\sqrt n ,$$ y que $\hat p = \hat p(n,\lambda_1,\lambda_2)$ denotan la aproximación de Monte Carlo obtenida (con suficiente precisión) para la probabilidad ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ . Se obtuvieron los siguientes resultados: 1) $n=50$ , $\lambda_1=2$ , $\lambda_2 = 1$ ( $\zeta = \sqrt{10}$ ): $\hat p = 0.999678$ , $\Phi(\zeta) \approx 0.999217$ ; 2) $n=100$ , $\lambda_1=4$ , $\lambda_2 = 3$ ( $\zeta = 2$ ): $\hat p = 0.978802$ , $\Phi(\zeta) \approx 0.977250$ . Por último, dejar que $\rho = \lambda_1 / \lambda_2$ , se mantiene $$\frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }} = \frac{{\rho - 1}}{{\sqrt {\rho^2 + 1} }},$$ por lo que la aproximación original se puede escribir $${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) \approx \Phi \bigg(\frac{{\rho - 1 }}{{\sqrt {\rho^2 + 1} }}\sqrt n \bigg).$$