Primera escritura $$ S_n^1 = X_1^1 + X_2^1 + X_3^1 + \cdots , $$ donde el $X_k^1$ son variables aleatorias exponenciales i.i.d. con función de densidad $f_{X_1^1 } (x) = \lambda _1 e^{ - \lambda _1 x} $ , $x > 0$ y $$ S_n^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + \cdots , $$ donde el $X_k^2$ son variables aleatorias exponenciales i.i.d. con función de densidad $f_{X_1^2 } (x) = \lambda _2 e^{ - \lambda _2 x} $ , $x > 0$ , independiente también de la $X_k^1$ . Ahora dejemos que $Y_k = X_k^1 - X_k^2$ . Entonces, $$ {\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) = {\rm P}(Y_1 + \cdots + Y_n < 0). $$ A continuación, observe que el $Y_k$ son variables aleatorias i.i.d. con media $$ \mu = {\rm E}(Y_1) = {\rm E}(X_1^1 ) - {\rm E}(X_1^2 ) = \frac{1}{{\lambda _1 }} - \frac{1}{{\lambda _2 }} $$ y la varianza $$ \sigma^2 = {\rm Var}(Y_1) = {\rm Var}(X_1^1 ) + {\rm Var}(X_1^2 ) = \frac{1}{{\lambda _1^2 }} + \frac{1}{{\lambda _2^2 }}. $$ Mantiene $$ \frac{\mu }{\sigma } = \frac{{\lambda _2 - \lambda _1 }}{{\lambda _1 \lambda _2 }}\frac{{\lambda _1 \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }} = \frac{{\lambda _2 - \lambda _1 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }}. $$ Ahora dejemos que $\tilde S_n = Y_1 + \cdots + Y_n$ y $Z_n = \frac{{\tilde S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }}$ . Entonces, $$ {\rm P}(Y_1 + \cdots + Y_n < 0) = {\rm P}\bigg(\frac{{\tilde S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }} < \frac{{ - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }}\bigg) = {\rm P}\bigg(Z_n < \frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _1^2 } }}\sqrt n \bigg). $$ Por el teorema del límite central, $Z_n$ converge en su distribución a la ${\rm N}(0,1)$ distribución. (Así que si $\lambda_1 > \lambda_2$ la última probabilidad, que es igual a ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ , tiende a $1$ como $n \to \infty$ .) Esto puede ayudar a deducir el comportamiento asintótico de ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ .
EDITAR:
Así que lo anterior da lugar a la aproximación $$ {\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) \approx \Phi \bigg(\frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2} }}\sqrt n \bigg), $$ donde $\Phi$ es la función de distribución del ${\rm N}(0,1)$ distribución. Por supuesto, la calidad de la aproximación depende de los parámetros involucrados. Podemos comprobarlo comparando con los resultados obtenidos en las simulaciones de Montecarlo. [La probabilidad ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ se puede aproximar fácilmente y con precisión utilizando la simulación de Monte Carlo, observando que una variable aleatoria exponencial con función de densidad $f_{X} (x) = \lambda e^{ - \lambda x} $ , $x > 0$ se puede generar como $-\ln(U)/\lambda$ , donde $U$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ .] Definir la cantidad $\zeta = \zeta (n,\lambda_1,\lambda_2)$ por $$ \zeta = \frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }}\sqrt n , $$ y que $\hat p = \hat p(n,\lambda_1,\lambda_2)$ denotan la aproximación de Monte Carlo obtenida (con suficiente precisión) para la probabilidad ${\rm P}(S_n^1 < S_n^2 )$ . Se obtuvieron los siguientes resultados: 1) $n=50$ , $\lambda_1=2$ , $\lambda_2 = 1$ ( $\zeta = \sqrt{10}$ ): $\hat p = 0.999678$ , $\Phi(\zeta) \approx 0.999217$ ; 2) $n=100$ , $\lambda_1=4$ , $\lambda_2 = 3$ ( $\zeta = 2$ ): $\hat p = 0.978802$ , $\Phi(\zeta) \approx 0.977250$ . Por último, dejar que $\rho = \lambda_1 / \lambda_2$ , se mantiene $$ \frac{{\lambda _1 - \lambda _2 }}{{\sqrt {\lambda _1^2 + \lambda _2^2 } }} = \frac{{\rho - 1}}{{\sqrt {\rho^2 + 1} }}, $$ por lo que la aproximación original se puede escribir $$ {\rm P}(S_n^1 < S_n^2 ) \approx \Phi \bigg(\frac{{\rho - 1 }}{{\sqrt {\rho^2 + 1} }}\sqrt n \bigg). $$
