Diferencia condicional de la variable aleatoria uniforme

Question

Esta es una pregunta sencilla.

Supongamos que $V_1$ y $V_2$ se distribuyen de forma independiente y uniforme en el intervalo unitario. Quiero encontrar la diferencia esperada $V_2 - V_1$ con la condición de $V_2 > V_1$ .

Sé que la respuesta es $\int_0^1\int_0^{v_2}2(v_2-v_1)dv_1dv_2 = 1/3$ . También lo he comprobado mediante el cálculo. ¿Por qué hay un "2" en el integrando? Entiendo que condicionar a que la diferencia sea positiva cambia los límites de la integración, y obviamente entiendo que $f_1 = f_2 = 1$ pero estoy confundido con los dos.

Answer 1

Usted quiere calcular $E[V_2-V_1|V_2>V_1]$ Escribir las integrales:

$$E[V_2-V_1|V_2>V_1]=\int_0^1\int_0^1(v_2-v_1)f(v_1,v_2|v_2>v_1)dv_1dv_2.$$

El quid de la cuestión es calcular correctamente la densidad. $f(v_1,v_2|v_2>v_1)=0$ cuando $v_2 \leq v_1$ y $c$ de lo contrario. La pregunta es, ¿qué es $c$ ? Pues la probabilidad total dice que $\int_0^1\int_0^1f(v_1,v_2|v_2>v_1)dv_1dv_2=1$ . Así que:

$\int_0^1\int_0^{v_2}cdv_1dv_2=1.$

Obtendrá $c=2$ porque la región de integración es un triángulo .

Así que una forma aún más fácil de ver esto es visualizar la región. Usted tiene que $f(v_1,v_2)$ vive en el rectángulo de la unidad $[0,1]\times [0,1]$ . Acondicionamiento $v_2>v_1$ te sitúa en una región triangular, que tiene la mitad de área, por lo que al condicionar tendrás que multiplicar por 2.