¿Sobre el cambio de dirección del signo de desigualdad al dividir por un número negativo?

Question

Al resolver ecuaciones de desigualdad, tenemos que cambiar el signo de la desigualdad cuando dividimos/multiplicamos por un número negativo. Y entiendo por qué. Porque estás haciendo un lado positivo y otro negativo.

Pero digamos que multiplicas por ejemplo $(x^3+1)/x>1$ o algo así. Cuando multiplicas ambos lados por x, ¿por qué no necesitas invertir el signo? Porque existe la posibilidad de que x sea negativa. ¿Por qué no necesitas construir dos ecuaciones, una en la que el signo es el mismo y otra en la que el signo está invertido?

Como extensión, digamos que se multiplican ambos lados de $(x^3+1)/-x>1$ por -x. ¿Es necesario cambiar también el signo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que no hay excepción y lo siguiente

$$\frac{x^3+1}{x}>1 \iff x^3+1>x$$

se mantiene para $x>0$ mientras que para $x<0$ tenemos

$$\frac{x^3+1}{x}>1 \iff x^3+1<x$$

Para evitar este tipo de manipulación y distinción en dos casos, podemos proceder, como alternativa, de la siguiente manera

$$\frac{x^3+1}{x}>1 \iff \frac{x^3+1}{x}-1>0 \iff \frac{x^3+1-x}{x}>0$$

y considerar por separado el signo del numerador y del denominador.

Answer 2

Al multiplicar los lados por $x$ No hace falta que le des la vuelta al cartel si se asume que $x>0$ . Si se asume que $x<0$ Entonces, usted hacer tienen que dar la vuelta al cartel.

En general, al resolver la desigualdad $$\frac{x^3+1}{x} > 1$$ hay que separar dos casos:

1. Si $x>0$ entonces la desigualdad es equivalente a $x^3+1 > x$
2. Si $x<0$ entonces la desigualdad es equivalente a $x^3+1<x$