Encontrar el común de la tangencia

Question

Hay $2$ curvas: $y=x^3-2x+1$ y $y=x^2+2ax+1$ .

Pasan por el mismo punto y tienen una tangente común en ese punto.
Y me gustaría encontrar el punto común de tangencia y el valor de $a$ .

Mis intentos:

Dejemos que $f(x)=x^3-2x+1$ y $g(x)=x^2+2ax+1$ He intentado utilizar $x=k$ como punto común. Por lo tanto, la tangente es $(k, k^2-2k+1)$ .

Pero no conozco los pasos posteriores. Por favor, ayúdenme a resolver esta cuestión

Answer 1

Sugerencia . Quieres resolver $$ x^3-2x+1=x^2+2ax+1 \quad (\text{same point}) $$ y $$ 3x^2-2=2x+2a \quad (\text{common tangent at that point}). $$