Permítanme ampliar mi comentario.
Si buscas un tratamiento de "álgebra lineal" de las EDP, entrarás en el campo llamado análisis funcional. El análisis funcional es una especie de álgebra lineal de dimensión infinita. Aquí trabajamos con espacios de funciones, por ejemplo, el espacio de funciones cuadradas integrables $L^2$ ( $f$ está en $L^2$ si $\int |f|^2 < \infty$ ). Se puede ver rápidamente que no habrá ninguna base finita que abarque el espacio completo, por lo que nuestro espacio es de dimensión infinita.
Por lo tanto, estamos trabajando con espacios de funciones, en PDE estamos buscando espacios de funciones donde viven nuestras soluciones de las PDEs. Es decir, estamos buscando funciones que satisfagan la ecuación. Resulta que mirar la derivada en un sentido clásico no te da muchas herramientas para estudiar ciertas propiedades de las soluciones como la regularidad (cuán "diferenciable" es tu función) y demás. Así que interpretamos la derivada en un sentido "débil" (o distributivo). De esta manera tenemos una clase más amplia de funciones que satisfacen nuestra ecuación y podemos aplicar las herramientas del análisis funcional a ella. Estos espacios se denominan Espacios de Sobolev . Si quiere que le explique con más detalle por qué estudiamos esos espacios, pídalo.
En realidad, se trata de un breve resumen de por qué necesitamos un análisis funcional. Otra cosa que necesitarás es la teoría de la medida. La teoría de la medida y la integración estudia un tipo de integral diferente a la que estás acostumbrado (la integral de Riemann): la integral de Lebesgue. Esta integral tiene muchas más propiedades agradables, por ejemplo, tienes bonitos teoremas que afirman que bajo condiciones suaves sobre $f_n, f$ que $$\int f_n \to \int f.$$ La integral de Riemann también posee esta propiedad, pero bajo condiciones bastante "poco naturales" (convergencia uniforme, por ejemplo).
No estoy seguro de hasta qué punto estás exactamente, pero si he entendido bien, tienes conocimientos de matemáticas de ingeniería.
Por lo tanto, necesitarías saberlo:
Análisis real básico:
Algunos ejemplos:
- El blog de Terence Tao: http://terrytao.wordpress.org/ contiene buenas notas de clase. Estás buscando algo como:
- Bartle - Análisis real . Este libro explica el análisis real básico. Aquí obtendrá la definición formal de continuidad, convergencia, la integral de Riemann, etc. Esto es realmente un prerrequisito para la teoría de la medida.
- Pugh - Análisis matemático real es otra opción al igual que
- Rudin - Principios del análisis matemático . Este libro bastante difícil de estudiar el tema.
Teoría de la medida:
- Schilling - Medidas, integrales y martingalas . Es un libro bastante económico y todas las soluciones están disponibles en Internet. Es una introducción muy suave. Sólo necesitarás la parte de la teoría de la medida, no la parte de la probabilidad (con las martingalas)
- Folland - Análisis real . Este es mi favorito, tampoco es muy fácil de aprender el tema pero vale la pena el esfuerzo. Y por último pero no menos importante:
- Rudin - Análisis real y complejo . Supongo que los primeros capítulos son suficientes, pero aquí ocurre lo mismo que con el otro libro de Rudin que he mencionado.
- Blog de Terence Tao . Este sitio web también tiene unas buenas notas (¡gratis!).
Análisis funcional:
- Werner - Análisis Funcional . Si sabes leer alemán, esta es una introducción suave. Sólo necesitas conocer los espacios de Banach y los espacios de Hilbert, por el momento no necesitarás la parte de los espacios vectoriales topológicos.
- Conway - Un curso de análisis funcional . Esto también es bastante denso, pero puede valer la pena el esfuerzo. Sólo es necesario conocer los teoremas básicos, pero estos libros utilizan un enfoque "teórico de la medida".
- Rynne y Youngson - Análisis funcional lineal . Este es un libro de grado, y creo que contiene todo lo que necesitas.
Ecuaciones diferenciales parciales:
- Evans - Ecuaciones diferenciales parciales . Este es un libro estándar para este tipo de cursos, yo también he estudiado el tema a partir de este libro.
- Krylov - Conferencias sobre ecuaciones elípticas y parabólicas en espacios de Sobolev . También es agradable si se prefiere un enfoque más analítico funcional (este libro gira en torno al estudio de los espacios de Sobolev en los dominios o en el espacio entero).
Esta era una pequeña lista de sugerencias. Si tiene alguna duda, pregunte.
