Discontinuidad de f(x) = {0 en 0 y 1 para x>0}

Question

Dada esta función:

Dominio = $\{x\in \Bbb R: x\geq 0\}$ $f(0)=0$ y $f(x)=1$ para $x > 0$

La función se interrumpe en $x=0$ ¿pero qué tipo de discontinuidad?

Calificación: https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_discontinuities

Creo que el punto $x=0$ no es ninguna discontinuidad en la clasificación. ¿Lo confirma?

Answer 1

Se trata obviamente de una discontinuidad de salto si tenemos $f(x)=0$ para $x\le 0$ desde $$osc_f(0)={(\sup-\inf)}_{|x|<\epsilon} f(x)=1-0=1$$ pero aquí el dominio sólo contiene $x\ge0$ por lo que la discontinuidad en esta pregunta es extraíble

Answer 2

Permítanme hacer una definición de los diferentes tipos de discontinuidad que hacen no requieren límites a la izquierda y a la derecha en un punto determinado $x_0$ pero es fácil ver que coinciden con su definición siempre que existan ambos. Por lo tanto, dejemos que $dom(f) \subseteq \mathbb R$ sea un conjunto no vacío, $f: dom(f) \to \mathbb R$ una función y $x_0 \in dom(f)$ . Supongamos que $f$ est no continua en $x_0$ . Entonces $x_0$ est

a) a discontinuidad removible de $f$ si existe una función $\hat{f}: dom(f) \to \mathbb R$ avec $\hat{f} = f$ en $dom(f) \setminus \{x_0\}$ , de tal manera que $\hat{f}$ es continua en $x_0$ .

b) un salto de discontinuidad si no es una discontinuidad removible, pero existe un número real $k \in \mathbb R$ avec $k \neq 0$ , tal que el mapa $g: dom(f) \to \mathbb R$ definido por $$g(x) = \begin{cases} f(x) & x \in (-\infty,x_0] \cap dom(f) \\ f(x) + k & x \in (x_0, \infty) \cap dom(f)\end{cases}$$ tiene una discontinuidad extraíble en $x_0$ .

c) Un discontinuidad esencial si no se cumplen ni a) ni b).

Con esta terminología, está claro que $x_0 = 0$ de su función original $f$ es una discontinuidad removible, y no a saltar discontinuidad.