Valor esperado con exponente negativo

Question

Estoy tratando de resolver identificar el valor esperado de una estadística que involucra una fracción. He simplificado la expresión a:

$E[\frac{1}{1+ \sum_i x_i}] = E[\frac{1}{1+ T}]$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder. ¿Hay alguna manera de simplificar esto a través del álgebra, es decir, simplificar la expresión hasta el punto de que tengo $E[x_i]$ y luego sustituir una expresión conocida para el valor esperado de $x_i$ ? ¿O debo intentar encontrar el valor esperado de la expresión trabajando con el pmf como

$\sum \frac{1}{1+ T} * f_T(t)$ ?

Answer 1

Este es realmente un comentario largo y posiblemente útil. No es una respuesta directa.

Si la distribución de $X_i$ le permite encontrar $f_T$ fácilmente, y si $T$ tiene una distribución continua con soporte $S$ , entonces probablemente será más fácil de integrar para encontrar $E[(1-T)^{-1}]$ evaluando $\int_S \frac{1}{1+t}f_T(t)\,dt.$ (No es por objetar, pero nota los ligeros cambios en la notación de lo que escribiste). Quizás un cambio de variable le permitirá obtener el integrando en una forma reconocible (a excepción de una constante que puede ser 'factorizada'), o dividir la integral en dos términos.

Habría sido más fácil dar una respuesta directa si nos hubiera dicho la distribución de los $X_i.$

Answer 2

Para la distribución T Binomial Negativa (r,p) donde $r>1$ :

\begin{align*} E \left( \frac{1}{1+T} \right) &= \sum \limits_{t=0}^{\infty} \frac{1}{1+t} \binom{r+t-1}{t} p^r (1-p)^t \\ &= \sum \limits_{t=0}^{\infty} \frac{1}{t+1} \cdot \frac{(r+t-1)!}{(t)!(r-1)!} p^r (1-p)^t \\ &= \sum \limits_{t=0}^{\infty} \frac{(r+t-1)!}{(t+1)!(r-1)!} p^r (1-p)^t \\ &= \sum \limits_{t=0}^{\infty} \frac{1}{r-1} \cdot \frac{(r+t-1)!}{(t+1)!(r-2)!} p^r (1-p)^t \\ &= \frac{1}{r-1} \sum \limits_{t=0}^{\infty} \binom{r+t-1}{t+1} p^r (1-p)^t \\ &= \frac{1}{r-1} \sum \limits_{t=0}^{\infty} \binom{r+(t+1)-2}{t+1} p^r (1-p)^t \\ &= \frac{1}{r-1} \sum \limits_{y=1}^{\infty} \binom{r+y-2}{y} p^r (1-p)^{y-1}, \,\,\, \text{where } y = t+1 \\ &= \frac{p}{(r-1)(1-p)} \sum \limits_{y=1}^{\infty} \binom{(r-1)+y-1}{y} p^{r-1} (1-p)^y \\ &= \frac{p}{(r-1)(1-p)} \left[ \sum \limits_{y=0}^{\infty} \binom{(r-1)+y-1}{y} p^{r-1} (1-p)^y \, - \, p^{r-1} \right] \\ &= \boxed{\frac{p ( 1 - p^{r-1} )}{(r-1)(1-p)}} \\ \end{align*}

Alternativamente, si alguien conoce una forma sencilla para la Binomial Negativa $n$ momento, entonces se podría encontrar otra solución mediante la siguiente expansión de Taylor en torno a 0:

$E \left( \frac{1}{1+T} \right) = E \left( 1 - T + T^2 - T^3 + \cdots \right) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n E(T^n)$