Función de Hilbert e isómica de variedades

Question

Sólo tengo curiosidad por cierto concepto:

Si dos ideales $I$ y $J$ en un anillo polinómico $R$ tienen la misma función de Hilbert (nota: no estoy hablando del polinomio de Hilb), entonces son sus soportes ( $\operatorname{Spec}(R/I)$ y $\operatorname{Spec}(R/J)$ ) es isomorfo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Considere los ideales $I = (x^2, xy, y^3)$ y $J = (x^2, y^2)$ de $k[x,y]$ . Tienen las mismas funciones de Hilbert: $$ A = k[x,y] / I = k \oplus kx \oplus k y \oplus k y^2, \\ B = k[x,y] / J = k \oplus kx \oplus ky \oplus kxy. $$ Estos dos anillos no son isomorfos porque el ideal cero de $A$ es reducible ( $I = (x,y^3) \cap (x^2, y)$ ), mientras que el ideal cero de $B$ es irreducible. Cuando el campo $k$ es finito con $q$ hay otra forma de verlo: el conjunto $\{ a \in A \mid a^2 = 0 \} = kx \oplus ky^2$ tiene cardinalidad $q^2$ , mientras que $\{ b \in B \mid b^2 = 0 \} = (kx \oplus kxy) \cup (ky \oplus kxy)$ tiene cardinalidad $2q^2 - q$ .