¿Qué aporta el hecho de ser un complejo CW en la topología algebraica?

Question

De vez en cuando, pretendo ser un topólogo algebraico. Pero en realidad no lo soy hard-core y algunos de los misterios más profundos del tema siguen siendo... misteriosos. Uno que surgió recientemente es el papel exacto de los complejos CW. Estoy muy contento con el mantra "Los complejos CW son buenos, los espacios patológicos realmente horribles son malos", pero hay un rango en el medio en el que no estoy seguro de si la clasificación es "buena" o sólo "bastante buena". Estos son los espacios con el tipo de homotopía de un complejo CW.

En la topología algebraica que suelo hacer, trato los complejos CW del mismo modo que trato las métricas riemannianas cuando hago topología diferencial. Sé que siempre hay un complejo CW a mano si realmente lo necesito, pero lo que realmente me interesa no parece depender de que el espacio sea realmente un complejo CW. Pero, como ya he dicho, sólo soy topólogo algebraico a tiempo parcial, por lo que puede haber franjas enteras de este tema que desconozco por completo en las que tener un complejo CW es de extrema importancia.

Por eso, mi pregunta:

En topología algebraica, si tengo un espacio que realmente es un complejo CW, ¿qué puedo hacer con él que no podría hacer con un espacio que simplemente tuviera el tipo de homotopía de un complejo CW?

Answer 1

Los que nos dedicamos mucho a la topología algebraica deberíamos recordar de vez en cuando que los espacios topológicos son, en general, terribles para trabajar.

Los complejos CW tienen un montón de propiedades que los hacen agradables para trabajar en la teoría de la homotopía, como ser susceptibles de ser estudiados por grupos de homotopía y como ser capaces de definir mapas de forma inductiva. Estas propiedades las siguen teniendo los objetos con el tipo de homotopía de un complejo CW.

Sin embargo, los complejos CW también son agradables en el conjunto de puntos nivel. Están generados de forma compacta, son localmente contractibles y cada subconjunto compacto está contenido en un subcomplejo CW finito, y los complejos CW finitos tienen casi todas las propiedades de regularidad a nivel espacial que se puedan nombrar. Si uno tiene el objetivo de hacer teoría de la homotopía, el hecho de que tengamos esta gran clase de espacios agradables significa que (hasta cierto punto) podemos dejar de lado muchas consideraciones de conjuntos de puntos. Y a veces estas consideraciones de conjuntos de puntos pueden ser irritantes (como que el producto smash no sea asociativo).

Los objetos sólo de tipo homotópico pueden ser terribles. Coge el cono en tu espacio patológico favorito y encontrarás algo con el tipo de homotopía de un bonito complejo CW pero con un terrible comportamiento de conjunto de puntos.

Answer 2

Como teórico de la homotopía, la mejor razón para mí es Teorema de Whitehead . Esto dice que si $X$ y $Y$ son complejos CW conectados y $f:X\rightarrow Y$ es una equivalencia homotópica débil (es decir, induce un isomorfismo en $\pi_n$ para todos $n$ ) entonces es una equivalencia homotópica. Según wikipedia Esta fue la justificación original de los complejos CW cuando Whitehead los introdujo. Yo diría que esta es la mejor respuesta que puedo dar a la pregunta de "qué se puede hacer realmente con los complejos CW que no pueda hacer con un espacio topológico general".

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EDIT: Aquí hay otras razones por las que los Complejos CW son geniales, pero no parecen responder directamente a la pregunta de la forma en que lo hace lo anterior.

Otra razón para considerar los complejos CW es que son mucho más fácil de trabajar que los espacios topológicos generales debido a la definición inductiva mediante celdas. En particular, un complejo CW es un colímite de su $n$ -skeleta $X_n$ . Esto hace que sea mucho más fácil calcular cosas para los complejos CW, por ejemplo, la (co)homología celular, la homotopía. Espacios Moore y Espacios de Eilenberg-Maclane son complejos CW y las construcciones no son demasiado difíciles. Además, se puede construir un espacio $X$ como límite inverso de los espacios de Eilenberg-Maclane a través de la Torre Postnikov Así que, de nuevo, los complejos CW te dan una forma de "meter mano" a un espacio general $X$ . Además, tiene la teorema de aproximación celular que dice que un mapa continuo arbitrario entre complejos CW $X$ y $Y$ es homotópico a un mapa celular (mucho más bonito), es decir, uno que toma el $n$ -esqueleto de $X$ a la $n$ -esqueleto de $Y$ .

Debido a esta bonita estructura, si se quiere demostrar algo para todos los espacios topológicos, a menudo es más fácil demostrarlo primero para los complejos CW y luego aplicar la Teorema de aproximación CW para conseguirlo para todos los espacios. El teorema de aproximación de CW dice que para cualquier espacio topológico $X$ hay un complejo de CW $Y$ y $f:Y\rightarrow X$ induciendo isomorfismos en homotopía, homología y cohomología. En particular, esto expresa $X$ (hasta la homotopía) como colímite de una secuencia de inclusiones celulares $Y_n \hookrightarrow Y$ . Así, los grupos de homotopía de $X$ son colímites de los grupos de homotopía del $Y_n$ y $\pi_*(Y_{n+1})\rightarrow \pi_*(X)$ es un epimorfismo.

Ya he enumerado varias razones por las que la categoría $\mathcal{CW}$ de los complejos CW es agradable. Más razones: contiene la categoría de Grafos, realizaciones geométricas de localmente finito los conjuntos simpliciales están en $\mathcal{CW}$ y se eliminan monstruosidades como el Línea larga (que tiene el tipo de homotopía débil de un punto pero no es contractible). Si quieres encontrar la categoría "correcta" para hacer teoría de homotopía debes ir primero a los Espacios de Hausdorff Generados Compactos (CGHS). Puedes ponerle la estructura del modelo de Quillen y recuperar $\mathcal{CW}$ como los objetos fibrantes-cofibrantes. Por todas estas razones y más, muchos piensan $Ho(\mathcal{CW})$ es el lugar "correcto" para hacer la teoría de la homotopía. Por ejemplo, en esta categoría tienes Representatividad del marrón es decir, las condiciones necesarias y suficientes para que un functor $F:Ho(\mathcal{CW})^{op}\rightarrow Set$ para ser representable. Así que esto permite entender las teorías de cohomología por sus objetos representables. Esta representabilidad es otra buena característica para la que se necesita un complejo CW de verdad. Ver la excelente respuesta dada por nuestro propio OP aquí .

Answer 3

Las palabras "realmente es un complejo CW" me sugieren que la estructura CW es conocida, mientras que el simple hecho de tener el tipo de homotopía de un complejo CW sugiere que la estructura CW es desconocida, o al menos no está determinada de forma única. Así que una respuesta a tu pregunta podría ser "calcular invariantes que se definan utilizando la estructura CW".

Estoy pensando en la homología y cohomología celular, por supuesto. Pero hay otros ejemplos de la teoría de la homotopía, como varios tipos de invariantes de Hopf, mapas de frontera en las secuencias de cofibras, las secuencias espectrales de Leray-Serre y Atiyah-Hirzebruch, $\ldots$

$\ldots$ y la torsión de Whitehead (véase la respuesta de John Klein).

Answer 4

Hay una razón fundamental por la que los complejos CW $X$ dicen que son útiles, sobre todo para construir funciones continuas $f: X \to Y$ por inducción en la filtración del esqueleto $X^n, n \geqslant 0$ y por pasar de $X^{n-1} $ a $X^{n}$ sabiendo que hay que construir la extensión sólo en cada $n$ -célula $e^n$ . La topología en $X$ está dispuesta precisamente para este fin. Así, un espacio complicado se construye a partir de otros más sencillos.

Es esta posibilidad de construir funciones continuas, y también homotopías, la que permite demostrar el Teorema de Whitehead antes mencionado.

Es interesante rastrear el desarrollo de este concepto a partir de sus primeros trabajos, por ejemplo

Whitehead, J H.C. On incidence matrices, nuclei and homotopy types. Ann. of Math. (2) 42 (1941) 1197--1239,

que introdujo el término "complejos de membrana, que son, por así decirlo, más elásticos que los complejos simpliciales". La idea era evitar la subdivisión en símiles amalgamándolos. Este artículo, y otros, se reescribieron después de la guerra, en términos de los complejos CW que conocemos y amamos.

Un punto crucial era poder construir no sólo funciones continuas sino también homotopías continuas de éstas. Para ello se necesitaba un resultado sobre el producto de complejos CW, que, según me dijeron, le llevó un año demostrar. También formuló desde el principio resultados básicos sobre los espacios de adyacencia, que ahora están claros en términos de los empujes.

Creo que el énfasis en las filtraciones es crucial, y permite otros métodos en topología algebraica.

22 Nov 2013: Grothendieck en su "Esquisse d'un programme" Sección 5 (versión inglesa disponible aquí (ver p.258) discutió lo que él cree que es la naturaleza inadecuada de los espacios topológicos para ciertas consideraciones geométricas.

Cuando se estudia la posibilidad de crear fundaciones, hay que adoptar una actitud de "no hacer nada". Esto coincide con el consejo de Einstein :

"¿Qué es esencial y qué se basa sólo en los accidentes del desarrollo? Los conceptos que han resultado útiles para ordenar las cosas asumen fácilmente una autoridad tan grande sobre nosotros, que olvidamos su origen terrenal y los aceptamos como hechos inalterables. Entonces se les califica de "necesidades conceptuales", "situaciones a priori", etc. El camino del progreso científico se ve frecuentemente bloqueado durante largos períodos por este tipo de errores. Por ello, no es un mero juego ocioso ejercitar nuestra capacidad de análisis de los conceptos conocidos y demostrar las condiciones de las que dependen su justificación y su utilidad, y el modo en que éstas se desarrollaron, poco a poco..."