¿La equivalencia ( $P \rightarrow Q$ ) $\iff$ ( $\lnot P \lor Q$ ) se mantienen en la lógica intuicionista?

Question

¿Quizás se mantiene en una dirección pero no en la otra?

Answer 1

$\Leftarrow$ tiene pero $\Rightarrow$ no se sostiene.

Para demostrar que $\Leftarrow$ se mantiene, supongamos que $\neg P \vee Q$ retenciones. Entonces, si $P$ Afirmo que $P \to Q$ se mantiene. En el primer caso, $\neg P$ y $P$ forman una contradicción, por lo que $Q$ . Si $Q$ entonces claramente $Q$ . Así, $P \to Q$ .

Para demostrar que $\Rightarrow$ no se sostiene, encontrar un modelo de lógica intuicionista donde $P \to Q$ tiene pero $\neg P \vee Q$ no se sostiene. Las lógicas intuicionistas están modeladas por álgebras de Heyting, por lo que para demostrar que $P \to Q$ no implica $\neg P \vee Q$ basta con encontrar un álgebra de Heyting donde $((P \to Q) \Rightarrow (\neg P \vee Q))$ no es 1. Un álgebra de Heyting en la que esto es cierto viene dado por el tercer ejemplo de esta página de Wikipedia . Sea $P = ½$ , $Q = ½$ . Entonces $P \to Q = 1$ pero $\neg P \vee Q = ½$ . Entonces $((P \to Q) \Rightarrow (\neg P \vee Q)) = 0$ que no es 1, así que hemos terminado.