¿Admite el teorema de incompletitud de Godel una versión inversa?

Question

Permítanme poner un hombre de paja:

Se podría considerar la siguiente crítica al teorema de incompletitud de Godel: ¿por qué esperábamos la completitud de la teoría de PA o ZF en primer lugar? Claro que se pueden concebir teorías completas semánticamente (tomando todos los enunciados que se sostienen en algún modelo fijo), pero normalmente se ha descubierto algo especial (por ejemplo, la eliminación de cuantificadores) cuando una teoría enmarcada naturalmente resulta completa.

Ahora bien, quizás se podría defender el teorema de Godel de la siguiente manera:

Por Godel, la teoría de los números naturales estándar no tiene ninguna axiomización recursiva, pero igualmente notablemente PA no tiene modelos recursivos no estándar ( Teorema de Tennenbaum ). Esto significa que la incompletitud de la aritmética tiene un carácter más profundo que, por ejemplo, la incompletitud de la teoría de grupos -allí basta con exhibir grupos con distintas propiedades de primer orden.

Mi pregunta:

¿Existe algún tipo de respuesta al teorema de incompletitud de Godel? Una conversación podría decir que cuando uno tiene la incompletitud y también alguna condición lateral razonable (sugiero, pero no me comprometo, que "sólo existe un modelo recursivo"), entonces debe existir algún mecanismo de autorreferencia que cause la incompletitud. O quizás más fuerte, ¿la teoría debe ofrecer una interpretación de alguna teoría de la aritmética suficientemente fuerte?

Answer 1

Intentaré responder a la primera pregunta, que creo que es más filosofía que matemáticas. Consideremos los números enteros. Tenemos fuertes intuiciones acerca de que los enteros son un conjunto muy definido de cosas, al que todos tenemos acceso. Además, si aceptamos una axiomización ingenua de segundo orden, los enteros son lo único que describe esta axiomización. Esto debería sobrevivir a la formalización: después de todo, sólo queremos describir este único modelo que la aritmética de Peano parece describir perfectamente.

Evidentemente, lo que he dicho arriba es sólo una intuición, y de hecho no tiene remedio. Pero estoy dispuesto a utilizar teorías de segundo orden para salvar la consistencia aritmética. Por supuesto, esto tiene un precio: describir modelos es difícil, la lógica en las teorías de segundo orden pierde muchas características agradables, pero si estás dispuesto a sacrificar toda una rama de las matemáticas en tu visión del mundo, puedes evitar en cierto modo tener que considerar modelos extraños de los enteros.

Answer 2

Una teoría que contiene el axioma de la aritmética sin el operador de multiplicación es completa. En cierto sentido, una teoría recursiva que contenga el axioma de la aritmética (con el operador de multiplicación) puede considerarse como el mínimo que se requiere para la incompletitud. Preguntas si cualquier teoría incompleta con un modelo recursivo tiene que tener la propiedad de autorreferencia. Pues bien, parece que podemos incrustar esta teoría en la teoría recursiva de PA. La teoría recursiva que contiene PA con PM como su regla de inferencia es el mínimo requerido para lograr la incompletitud.