¿Cómo se demuestra la siguiente desigualdad? (relacionada con las condiciones de no arbitraje)

Question

Estoy trabajando con un libro de prácticas de finanzas matemáticas, pero me cuesta demostrar parte de una pregunta sobre las condiciones de no arbitraje.

En el problema, primero me dan $K_1 < K_2 < K_3 $ . Entonces, el libro afirma que la siguiente relación: $x_1 (S - K_1) - x_2 (S - K_2) + x_3 (S- K_3) \geq 0, \forall S \geq 0$ ,

se mantiene si y sólo si se cumplen las dos condiciones: $x_1 - x_2 + x_3 \geq 0$ y $x_1 (K_3 - K_1) - x_2 (K_3 - K_2) \geq 0$ .

Por mi parte, no puedo demostrar por qué es así. Sé que debería ser álgebra básica, pero por alguna razón me cuesta mucho. ¿Alguien tiene algún consejo?

Answer 1

Esto tendrá sentido para una cartera de tres opciones de compra con vencimiento común y con precios de ejercicio $0 < K_1 < K_2 < K_3$ donde estamos desde hace mucho tiempo $x_1 > 0$ opciones golpeadas en $K_1$ , corto $x_2 > 0$ opciones golpeadas en $K_2$ y largo $x_3> 0$ opciones golpeadas en $K_3$ .

El pago de esta cartera de opciones al vencimiento para el precio subyacente $S$ es

$$V(S) = x_1(S-K_1)^+ - x_2(S - K_2)^+ + x_3(S - K_3)^+$$

donde $(S-K_j)^+ = \max(S-K_j,0)$ el pago de una opción de compra europea estándar.

Para $0 \leqslant S \leqslant K_1$ tenemos $V(s) = 0$ .

Para $K_1 \leqslant S \leqslant K_2$ tenemos $V(S) = x_1(S - K_1) \geqslant 0$ .

Para $K_2 \leqslant S \leqslant K_3$ tenemos $V(S) = x_1(S - K_1) - x_2(S- K_2)$ . Se trata de una función lineal que une los puntos $(\,K_2,\,x_1(K_2 - K_1)\,)$ y $(\,K_3,\,x_1(K_3-K_1)- x_2(K_3-K_2)\,)$ .

En consecuencia, tenemos $V(S) \geqslant 0$ para $K_2 \leqslant S \leqslant K_3$ si y sólo si

$$\tag{*}x_1(K_3-K_1)- x_2(K_3-K_2) \geqslant 0$$

Para $S \geqslant K_3$ tenemos

$$V(S) = x_1(S- K_1) - x_2(X- K_2) + x_3(S- K_3) \\ = x_1(K_3-K_1)- x_2(K_3-K_2) +(x_1 - x_2 + x_3)(S - K_3),$$

y asumiendo que la desigualdad (*) se mantiene tenemos $V(S) \geqslant 0$ para todos $S \geqslant K_3$ si y sólo si

$$\tag{**} x_1 - x_2 + x_3 \geqslant 0$$

Answer 2

Lo que usted afirma parece requerir que $K_3 \le 0$ . Más tarde descubrí que esto se debe a que el enunciado de la pregunta no es del todo correcto. Por favor, lea la respuesta de RRL para encontrar una solución a la pregunta tal y como se pretende. No obstante, lo siguiente sí demuestra parte de las condiciones de las opciones, pero no del arbitraje.

Utilizando esto, observe que

$$x_1\left(S - K_1\right) - x_2\left(S - K_2\right) + x_3\left(S - K_3\right) \ge 0 \tag{1}\label{eq1}$$

se convierte después de ampliar los términos, recogiendo todos los que utilizan $S$ y factorizarlo para obtener ese

$$S\left(x_1 - x_2 + x_3\right) - x_1 K_1 + x_2 K_2 - x_3 K_3 \ge 0 \tag{2}\label{eq2}$$

Para mostrar la parte "si", si

$$x_1 - x_2 + x_3 \ge 0 \tag{3}\label{eq3}$$

entonces

$$S\left(x_1 - x_2 + x_3\right) \ge 0 \tag{4}\label{eq4}$$

basado en $S \ge 0$ . Con la segunda condición,

$$x_1\left(K_3 - K_1\right) - x_2\left(K_3 - K_2\right) \ge 0 \tag{5}\label{eq5}$$

ampliándolo, recogiendo los términos mediante $K_3$ y luego se factoriza $K_3$ , da

$$-x_1 K_1 + x_2 K_2 + K_3\left(x_1 - x_2\right) \ge 0 \tag{6}\label{eq6}$$

Desde \eqref {eq3}, y suponiendo que $K_3 \le 0$ obtenemos

$$x_1 - x_2 \ge -x_3 \Rightarrow K_3\left(x_1 - x_2\right) \le -K_3 x_3 \tag{7}\label{eq7}$$

Invirtiendo la desigualdad se puede sustituir por \eqref {eq6} para dar que

$$-x_1 K_1 + x_2 K_2 - x_3 K_3 \ge 0 \tag{8}\label{eq8}$$

Poniendo \eqref {eq4} y \eqref {eq8} juntos da \eqref {eq2}. Obsérvese que no he utilizado nada respecto a la relación de $K_1$ o $K_2$ en términos de $K_3$ aquí. En cuanto a la exigencia de $K_3 \le 0$ , tenga en cuenta que si $x_1 = x_2 = 0$ entonces \eqref {eq3} requiere que $x_3 \ge 0$ . Configurar $S = 0$ causa \eqref {eq2} para convertirse en

$$0 - 0 + 0 - x_3 K_3 \ge 0 \tag{9}\label{eq9}$$

pero si $x_3 \gt 0$ entonces $K_3 \leq 0$ . Como el OP ha declarado en un comentario a esta respuesta que

el $K$ representan diferentes "precios de ejercicio" que, de hecho, suelen ser mayores que $0$

debe haber alguna otra condición o restricción que desconozco, o posiblemente una de las declaraciones no está presentada correctamente. Por ahora, esto es lo mejor que puedo hacer aquí.

Para la parte de "sólo si", creo que la forma más fácil de demostrarlo sería posiblemente proporcionar un ejemplo en el que uno de \eqref {eq3} o \eqref {eq5} no se sostienen, entonces \eqref {eq2} tampoco se sostiene.