¿Cuál es el máximo valor propio esperado de un $n \times n$ ¿Matriz simétrica?

Question

Dado un $n \times n$ matriz simétrica llena de realizaciones de un uniforme variable aleatoria que toma valores en $[-1, 1]$ , determinar el máximo valor propio esperado utilizando métodos analíticos.

Ejecución de varios scripts de MATLAB de un gran $n$ matriz me dio una la siguiente trama:

Obsérvese, la naturaleza elíptica de la $100 \times 100$ de la trama. Intuitivamente, sospecho que el valor máximo de los valores propios debe ser $\sqrt{n}$ pero no sé cómo determinar este valor analíticamente (o incluso si $\sqrt{n} $ es efectivamente cierto).

He intentado leer Pastur et Al. 's "Distribución de valores propios para grandes matrices aleatorias" Pero no puede dar sentido a su trabajo.

En resumen ¿Cuál es la relación entre $n$ ¿la dimensión de la matriz y el valor propio máximo esperado?

Answer 1

La solución correcta es $n$ opuesto a mi intuición original de $\sqrt{n}$

Sólo para el caso positivo

Prueba

Observe que $$ tr(A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{ii} = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i $$

Esto significa que la suma de las diagonales es simultáneamente igual a la suma de los posibles valores propios de cualquier matriz cuadrada.

Ahora, dejemos que $m$ sea la mayor entrada en A ( es decir, . En nuestro caso $m = 1$ como todos $a_{ij}$ normalmente elegidos al azar $ \in [-1, 1]$

Dejemos que $$\lambda _{max} \leq \sum_{i = 1}^{k} \lambda _k = tr(A)$$ $$\implies \lambda _{max} \leq tr(A)$$ $$a_{ii} \leq m$$ Cada $a_{ij}$ es menor que el máximo

$$\implies \sum_{i = 1}^{n} a_{ii} \leq \sum_{i = 1}^{n} m$$ $$\implies tr(A) \leq mn$$ $$\lambda _{max} \leq tr(A) \leq mn$$ $$\lambda _{max} \leq mn$$ $$\tag*{$ \N - Plaza negra $}$$

Un agradecimiento especial a Rahul (en los comentarios) y a Raghav Srinivasan, de la Universidad de Toronto.

Alternativamente, observe que intuitivamente pensaba que $\sqrt{n}$ era la solución correcta porque en una distribución de Wigner, el escalamiento como $n \to \infty$ es $\sqrt{n}$ Esto puede ser probado aquí