Tipo de isomorfismo de un grupo finito con respecto a la multiplicación módulo 65

Question

Soy el mismo que está repasando el examen teórico de grupo y que publicó hace unos días. Estoy en el capítulo de grupos abelianos finitamente generados, y mi profesor dio este ejemplo que no entiendo bien:

Dejemos que $G = \{1,8,12,14,18,21,27,31,34,38,44,47,51,53,57,64 \} $ y el operador de grupo sea la multiplicación módulo 65. ¿A qué es isomorfo G?

Este ejemplo se dio al final del capítulo y creo que intentaba utilizarlo para enlazar los corolarios del Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finamente Generados. Aquí está su solución:

"Observe que $G$ es un grupo abeliano de orden 16. Por lo tanto, las posibilidades (hasta el isomorfismo) son:

• $\mathbb{Z}_{16}$ (Falso, ya que no tiene ningún elemento de orden 16)

• $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8}$ (Falso, ya que $(0,1)$ tiene orden 8)

• $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$ (Falso, ya que $(1,0,0), (0,1,0),(1,1,0),(0,0,2)$ tener orden 2)

• $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ (Falso, ya que todos los elementos excepto $(0,0,0,0)$ tener orden 2)

$\therefore G \cong \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{4}$ ."

Lo que creo entender es que desde $G$ tiene 16 elementos, el conjunto $S$ que lo genera, es decir $<S>$ necesita tener al menos 1 elemento de orden 16. (¿correcto?) Si estoy en lo cierto, entonces entiendo por qué los dos últimos puntos son falsos. ¿No es $1 \in \mathbb{Z}_{16}$ y el elemento que tiene el orden 16? Además, ¿por qué $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8}$ ¿necesita sólo 1 elemento para el contraejemplo?

Answer 1

Si $G$ tiene orden $n$ entonces no necesita tener un elemento de orden $n$ . El grupo 4 de Klein es un ejemplo de ello (es un grupo de orden 4 en el que cada elemento no identitario es de orden 2). Un resultado positivo en esta línea es el Teorema de Cauchy, que afirma que $G$ tendrá un elemento de orden $p$ si $p$ es un primo que divide el orden de $G$ .

En cuanto a su última pregunta, si $G$ eran isomórficos a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_8$ entonces la imagen de $(0,1)$ en $G$ bajo tal isomorfismo tendría orden 8. Demuestre que ningún elemento de $G$ tiene el orden 8. Entonces no puede existir tal isomorfismo.

Answer 2

Para apreciar las razones dadas en la enumeración (que se reducen a decir que el grupo abeliano sugerido tiene un cierto número de elementos de cierto orden), debes calcular el orden de todos los elementos de $G$ . Por ejemplo, los poderes de $8$ son $8^2=64$ entonces $8^3=57$ entonces $8^4=1$ , por lo que el orden de $8$ es $4$ . Una vez que haya hecho esto para todos los elementos, comprobará efectivamente que $G$ no tiene ningún elemento de orden $16$ , ningún elemento de orden $8$ , no hay tres elementos de orden $2$ etc.