Formas de encontrar la matriz rectangular $\mathcal{H}$ en el problema $g = \mathcal{H} f $ .

Question

Estoy tratando de entender las formas de encontrar una matriz rectangular $\mathcal{H}$ de tamaño $m \times n$ en el problema: $$ g = \mathcal{H} f $$

Aquí, $g$ y $f$ son dados y son vectores de tamaños $m$ y $n$ respectivamente.

La notación matricial se da como:

$$\begin{bmatrix} g_{1}\\ \vdots\\ g_{m}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathcal{H}_{11} & \mathcal{H}_{12} & \dots & \mathcal{H}_{1n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \mathcal{H}_{m1} & \mathcal{H}_{m2} & \dots & \mathcal{H}_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{1}\\ f_{2}\\ \vdots\\ f_{n}\\ \end{bmatrix}$$

¿Puede alguien explicarme las formas de resolver este problema y explicar las cuestiones de encontrar una solución única a este problema?

Answer 1

Si $f$ es igual a $0$ entonces existe esa matriz $H$ si y sólo si $g=0$ .

Si $f\neq 0$ que existe $f_j\neq 0$ y así se puede elegir la matriz $H$ tal que $H_{s,t}=0$ si $t\neq j$ y $H_{s,j}=\frac{g_s}{f_j}$ si $t=j$

Por ejemplo, para $n=3$ y $m=2$ si $f_2\neq 0$ (por ejemplo) tienes que $\left[\begin{matrix}g_1\\ g_2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 & \frac{g_1}{f_2} &0 \\0& \frac{g_2}{f_2} & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}f_1 \\ f_2 & \\f_3\end{matrix}\right] $

Answer 2

La pseudoinversa del vector $f$ es
$$f^+ = \frac{f^T}{f^Tf}$$ que puede utilizarse para escribir la solución general como $${H = gf^+ + A(I_n-ff^+)}$$ donde $A\in{\mathbb R}^{m\times n}$ es una matriz arbitraria. La solución de mínimos cuadrados se da en $A=0$ .