Forma cerrada de una función relacionada con la función exponencial

Question

Si $e^{-t}=\sum_{n=1}^\infty f(nt)$ ¿existe una forma cerrada para $f(x)$ ? Y no me refiero a nada como la inversión de mobius o $f(nt)=\frac {t^{n-1}}{\Gamma(n)}$ (Esta ni siquiera incluye la multiplicación entre $n$ y $t$ ).

Answer 1

No, no puede ser el caso. Considere $$1= e^0 = \sum_{n=1}^\infty f(0)$$ entonces la única manera de que esto converja es si $f(0) = 0$ pero luego $1=0$ es una contradicción. Incluso si se añade esta constante, digamos $$e^{-t} = 1 + \sum_{n=1}^\infty f(nt)$$ entonces tomando una derivada se encuentra $$-e^{-t} = \sum_{n=1}^\infty nf'(nt)$$ así que $$-1 = -e^0 = f'(0)\sum_{n=1}^\infty n $$ lo que también es absurdo.