¿De cuántas maneras pueden alinearse tres soldados para una foto, si a cada uno se le da la opción de llevar o no su gorra

Question

Mi instructor me dio esta respuesta:

Un soldado con sombrero aparecerá diferente en la imagen en comparación con >cuando no lleva el sombrero. Por lo tanto, tenemos que determinar las permutaciones de > $6$ objetos tomados $3$ a la vez. Por lo tanto, $P(6, 3) = 120$

No entiendo esta solución porque trata como distintos a los soldados que llevan o no llevan gorra, que pueden alinearse al mismo tiempo.

Creo que la solución debería ser:

Da una ordenación a los tres lugares, $1,2,3$ el primer lugar puede ser ocupado por $3 $ Los soldados, una vez seleccionados, tienen la opción de llevar o no la gorra, lo que puede hacerse en $2$ maneras. Razonando de la misma manera, tenemos un total de $(3 \times 2) \times (2 \times 2) \times (1 \times 2)= 48$ = formas

Answer 1

Piensa en los soldados como en las letras 1-3.

Hay 3 formas de ordenar los dígitos, es decir, 6 posibilidades.
123, 132, 213, 231, 312 y 321.

Ahora consideremos que A significa que el soldado 1 tiene su sombrero puesto, y a que se quita el sombrero (Estamos sustituyendo una letra por cada caso de dígitos por cada 1 en las 6 posibilidades anteriores). Así que para cada una de las 6 disposiciones, cada soldado podría tener el sombrero puesto o no.

Por ejemplo, para 123 sólo considerando el soldado 1 obtenemos a23 y A23.

El resultado es $2^3 * 6 $ posibilidades o 48.