Cálculo numérico eficiente de la expectativa de una función discontinua de una variable aleatoria normalmente distribuida

Question

Soy consciente de que siempre que $f$ es una función suave, las expectativas de la forma $$ \mathbb{E}[f(X)] $$ puede calcularse numéricamente de forma eficiente con la ayuda de la cuadratura de Gauss-Hermite cuando X se distribuye normalmente. Mi pregunta es si existe una extensión de la cuadratura de Gauss-Hermite cuando hay un salto en $f$ así que $$ f(x) = \begin{cases} f_1(x) &\quad \text{if } x<\bar{x},\\ f_2(x) &\quad \text{if } x\geq \bar{x}\\ \end{cases}$$ donde $\bar{x}$ es conocido y $f_1$ y $f_2$ son ambas funciones suaves de $x$ . En otras palabras: partiendo de una regla de cuadratura gaussiana, ¿es posible añadir un nodo en un lugar arbitrario de forma coherente? En caso afirmativo, ¿cómo ajustar los pesos? Por supuesto, podría recurrir a un método tipo Newton-Cotes e incluir un nodo adicional para $\bar{x}$ pero preferiría una forma más eficiente si es que existe.

Nota en caso de que sea importante para la respuesta: En realidad necesitaría aplicar esto en más dimensiones, por lo que me interesa aproximar $$ \mathbb{E}[f(g(X))], $$ donde $g:\mathbb{R^3}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función suave, $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es como el anterior y $X$ es un vector tridimensional de variables aleatorias independientes que siguen distribuciones normales. También hay que tener en cuenta que no puedo esperar una solución analítica, ya que tanto $f_1$ y $f_2$ se interpolan.

Answer 1

Siempre se pueden resolver las "ecuaciones de la torre" (llamadas por Stoer y Bulirsch ) $$ \sum_{n=0}^{N-1}w_iH_j(x_i) = \langle H_0(x), H_0(x)\rangle \delta_{j,0} $$ para cualquier conjunto de abscisas $x_i$ . Esto da una integración exacta para cualquier polinomio de orden $N-1$ . Sin embargo, si las abscisas ya no son las raíces de $H_N(x)$ entonces la técnica deja de ser exacta para cualquier otro polinomio. Recordemos que al utilizar las raíces, la cuadratura de Gauss-Hermite es exacta para todos los polinomios hasta $2N-1$ Esta propiedad no está presente cuando se elige otro conjunto de abscisas.

Si mueves todas las raíces una distancia $\varepsilon$ lejos de las raíces, entonces el error en los polinomios de orden $>N-1$ puede demostrarse que es proporcional a $\varepsilon^N$ ( https://doi.org/10.3905/jod.2021.1.130 ).

Moviendo toda la abscisa una distancia $\varepsilon$ lejos de las raíces, las ecuaciones para resolver los pesos modificados es $$ \sum_{i=0}^{n-1} (w_i + \delta w_i) H_j(x_i + \epsilon) = \delta_{j0} $$ donde $w_i$ resolver las ecuaciones originales de la torre, y he elegido los polinomios de Hermite del estadístico que están normalizados $$ \int_{-\infty}^\infty H_0(x)H_0(x)e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}} = 1, $$ que es apropiado en este caso, ya que se trata de expectativas sobre variables con distribución normal.
La ecuación que resuelve los desplazamientos de peso $\delta w_i$ son los siguientes $$ \sum_{i=0}^{n-1} \delta w_i H_j(x_i) = (-1)^j\epsilon^j - \delta_{j0}. $$ Para $N=2$ esto produce $$ \delta w_i \in \left[ -\frac{1}{2}\epsilon, \frac{1}{2}\epsilon\right] $$ resultando la regla de cuadratura $$ \mathbb{E}[f(x)] \approx \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\epsilon\right)f(-1+\epsilon) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\epsilon\right)f(1+\epsilon) $$ anb para $N=3$ esto produce $$ \delta w_i \in \left[ \frac{1}{2\sqrt{3}}\epsilon+\frac{1}{6}\epsilon^2, -\frac{1}{3}\epsilon^2, - \frac{1}{2\sqrt{3}}\epsilon+\frac{1}{6}\epsilon^2 \right] $$ resultando la regla de cuadratura $$ I[f] \approx\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\epsilon+\frac{1}{6}\epsilon^2\right)f(-\sqrt{3}+\epsilon) + \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\epsilon^2\right)f(\epsilon) \\+ \left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\epsilon+\frac{1}{6}\epsilon^2\right)f(\sqrt{3}+\epsilon). $$ Para un orden superior habría que resolverlo numéricamente.

Este análisis se realiza en el apéndice de Árboles de hoja perenne: El método de la razón de verosimilitud para árboles binomiales y trinomiales un artículo que se publicará próximamente en el Journal of Derivatives.