Calcular la inversa de $ s(x) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ en términos de $f^{-1}$

Question

Calcular la inversa de $s(x) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ en términos de $f^{-1}$ f es una $1-1$ con la función inversa $f^{-1}$

Answer 1

Supuesto: $s^{-1}$ existe, entonces,

Dejemos que $$y=s(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\implies y-yf(x)=1+f(x)\implies f(x)=\frac{y-1}{y+1}\implies x=f^{-1}(\frac{y-1}{y+1})\implies s^{-1}(y)=f^{-1}(\frac{y-1}{y+1})$$ o $$s^{-1}(x)=f^{-1}(\frac{x-1}{x+1})$$

Answer 2

Una idea: Si consideramos la función $$g(x) = \frac{1 + x}{1 - x} $$ Entonces, obviamente, $s = g \circ f$ . Es $g$ ¿Inyectiva? ¿Qué sabes sobre la composición de funciones inyectivas? Supongamos que $x \neq 1$ .