Demostrando que $f(x)=x^2-6x-40$ es inyectiva para $f: [3, \infty) \rightarrow [-49, \infty)$ sin utilizar el cálculo

Question

Estoy tratando de demostrar que $f(x)=x^2-6x-40$ es inyectiva para $f: [3, \infty) \rightarrow [-49, \infty)$ . Tenga en cuenta que no puedo utilizar el cálculo.

Intenté dejar que $f(a)=f(b)$ y llegué a $a^2-6a=b^2-6b$ . Entonces traté de encontrar una solución para $a$ en términos de $b$ y una solución para $b$ en términos de $a$ y tengo $a=\frac{6 \pm \sqrt{36+4b^2-24b}}{2}=3 \pm \sqrt{9+b^2-6b}$ y $b=\frac{6 \pm \sqrt{36+4a^2-24a}}{2}=3 \pm \sqrt{9+a^2-6a}$ . Si tratara de equiparar para mostrar que $a=b$ Básicamente he llegado al punto de partida. Luego probé el enfoque de ver qué pasa si $a>b$ y $a<b$ pero tampoco pude llegar muy lejos con eso ya que para algunos números $a^2<6a$ y para algunos números $a^2>6a$ . Me pregunto cuál es el mejor método para probar que $f$ es injecitve es.

Answer 1

Primero completa el cuadrado: $$ x^2 - 6x -40 = (x - 3)^2 - 49. $$ Ahora, si $f(a) = f(b)$ obtendrías $$ (a - 3)^2 - 49 = (b - 3)^2 - 49. $$

Answer 2

Tienes $b=3 \pm \sqrt{9+a^2-6a}=3\pm\sqrt{(a-3)^2}$

Desde $a \ge 3$ ,

$$b=3\pm(a-3)=a$$ o $$b=6-a$$

Desde $b \ge 3$ y $a \ge 3$ concluimos que sólo es posible cuando $$b=a$$

Answer 3

Completa el cuadrado:

$y=(x-3)^2 -49.$

Se trata de una parábola normal con vértice en

$(3,-49)$ que es el mínimo.

$3 \le x,$ $x \in \mathbb{R}.$

Dejemos que $z: = x-3$ entonces

$Y=z^2 -49$ , $0 \le z$ , $z \in \mathbb{R}.$

Esta función $Y(z)$ es estrictamente creciente:

$z_1 \lt z_2$ $\rightarrow :$

$(z_1)^2 \lt (z_2)^2$ , $\rightarrow: $

$Y_1 \lt Y_2.$

Por lo tanto, es inyectiva.

Ahora vuelve a $x$ .