Cardinalidad de $P_\mathfrak{c}(\mathbb R)$

Question

Calcular la cardinalidad de $\mathcal P_\mathfrak{c}(\mathbb R)=\{\mathcal R \in \mathcal P(\mathbb R) \, /\, \#(\mathcal R)=\mathfrak{c}\}$ .

Pensé que en lugar de $\mathcal P_\mathfrak{c}(\mathbb R)$ Debería pensar en $\mathcal P_c([0,1))$ para poder trabajar con la representación de $x \in [0,1)$ en el sistema numérico binario, pero no sé cómo hacer una biyección con ese conjunto. Por supuesto, estoy pensando que $\mathcal P_c(\mathbb R)$ tiene la cardinalidad de $\mathbb R$ . (Aclaración: $\mathfrak{c}=\#\mathbb R)$

Answer 1

La cardinalidad de $\mathcal{P}_\mathfrak{c}(\mathbb{R})$ es $2^\mathfrak{c}$ .

Está claro que tenemos $\mathcal{P}_\mathfrak{c}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$ para que $\left|\mathcal{P}_\mathfrak{c}(\mathbb{R})\right|\le 2^\mathfrak{c}$ .

Por otro lado, tenemos $X\cup (0,\infty) \in \mathcal{P}_\mathfrak{c}(\mathbb{R})$ , donde $X$ es un subconjunto arbitrario de $(-\infty,0)$ . Pero el número de estos subconjuntos es $2^\mathfrak{c}$ desde $|(-\infty,0)| = \mathfrak{c}$ . Por lo tanto, $\left|\mathcal{P}_\mathfrak{c}(\mathbb{R})\right| \ge 2^\mathfrak{c}$ .