Demostrar que $(E\cup Z_1)\setminus Z_2$ tiene la forma $E\cup Z$

Question

Estoy tratando de hacer un ejercicio como el siguiente:

Dejemos que $(X, {\mathbf X}, \mu)$ sea un espacio de medidas y que ${\mathbf Z}=\{E\in {\mathbf X}:\mu(E)=0\}$ . Sea $\mathbf X'$ sea la familia de todos los subconjuntos de $X$ de la forma $(E\cup Z_1)\setminus Z_2, E\in \mathbf X$ , donde $Z_1$ y $Z_2$ son subconjuntos arbitrarios de conjuntos pertenecientes a $\mathbf Z$ . Demuestre que un conjunto está en $\mathbf X'$ si y sólo si tiene la forma $E\cup Z$ donde $E\in \mathbf X$ y $Z$ es un subconjunto de un conjunto en $\mathbf Z$ .

La respuesta que propuse fue que si $Q=E\cup Z$ donde $E\in \mathbf X$ y $Z\subset P\in\mathbf Z$ entonces $Q=E\cup Z\setminus(P\setminus Z)$ desde $Z$ y $P\setminus Z$ son ambos subconjuntos de $P\in \mathbf Z$ . Esto parece ser erróneo ya que asume $P\cap E=\emptyset$ . Además, no consigo averiguar cómo hacer el camino inverso. He intentado definir el conjunto $R=\{x\in X:f(x)>0\}$ . Por la definición de álgebra sigma, $R\in \mathbf X$ . Luego intenté tomar intersecciones y complementos con $R$ . Sin embargo, sigo obteniendo expresiones desordenadas que nunca se resuelven con el $E\cup Z$ . ¿Es este método con $R$ una buena idea o me he perdido algo obvio?

[Esto es parte del ejercicio 3.L. de Los elementos de integración y la medida de Lebesgue por R. G. Bartle].

Answer 1

Claramente $E \cup Z = (E \cup Z) \setminus \emptyset \in \mathbf X'$ .

Por otro lado, supongamos que $E \in \mathbf X$ , $N_1,N_2 \in \mathbf Z$ , $Z_1 \subset N_1$ y $Z_2 \subset N_2$ .

Ahora calcula que $$(E \cup Z_1) \setminus Z_2 = (E \setminus N_2) \cup \bigg[(E \cap (N_2 \setminus Z_2)) \cup (Z_1 \setminus Z_2)\bigg]$$ que pertenece a $\mathbf X'$ ya que el conjunto entre paréntesis es un subconjunto de $N_1 \cup N_2$ .

Answer 2

La parte "si" en mi opinión es trivial, si se considera $Z_1=Z$ y $Z_2=\emptyset$ .

La parte "sólo si" no es trivial. Primero dejemos que $X=\left(E\cup Z_1\right)\backslash Z_2$ . Elige una secuencia creciente $\left(X_i\right)\in \bf{X}$ tal que $X_i\subset X$ para todos $i\geq1$ y $\mu\left(X_i\right)\rightarrow\mu\left(E\right)$ como $i\rightarrow\infty$ . Esto es posible porque $Z_1$ y $Z_2$ son conjuntos nulos. (Puede demostrar esta afirmación.) A continuación, defina $E^\prime=\bigcup_{i\geq1}X_i$ y $Z^\prime=X\backslash E^\prime$ . Entonces tenemos todas las propiedades deseadas: $E^\prime\cup Z^\prime=E$ (ya que $E^\prime \subset X$ ), $E^\prime \in \bf{X}$ y $Z^\prime$ es un subconjunto de un conjunto en $\bf{Z}$ (para esta última afirmación doy una prueba más abajo).

Reclamación: $Z^\prime$ es un subconjunto de un conjunto en $\bf{Z}$ .

Tenga en cuenta que $Z^\prime = X\backslash E^\prime = \left(E\cup Z_1\right)\backslash Z_2 \backslash E^\prime $ . Sea $P_1\in\bf{Z}$ tal que $Z_1\subset P_1$ . Entonces, $Z^\prime = \left(E\cup Z_1\right)\backslash Z_2 \backslash E^\prime \subset \left(E\cup P_1\right)\backslash E^\prime \in \bf{X}$ . Así que ahora sólo queda demostrar que $\left(E\cup P_1\right)\backslash E^\prime \in \bf{Z}$ . A partir de ahora, el cálculo es sencillo. $\mu\left(\left(E\cup P_1\right)\backslash E^\prime\right)=\mu\left(E\cup P_1\right)-\mu\left(\left(E\cap E^\prime\right)\cup \left(P_1\cap E^\prime\right)\right)=\mu\left(E\right)-\mu\left(E^\prime\right)=0$ . Así que la afirmación es cierta.