Superficies y planos en espacios tridimensionales

Question

Se construirá un techo que se ajuste a la superficie dada por la función:

$$ z = f(x,y) = \frac 52 + {1\over 200} (9x^2 - 4y^2) \tag{1} $$

En el dominio $[-6, 6] \times [-6, 6]$ con $x$ , $y$ y $z$ todo ello medido en metros. Se cortarán nueve viguetas de madera y se colocarán de forma que queden sobre las secciones transversales de la superficie. Se colocará una tela de sombreado sobre las viguetas para producir un efecto de techo curvo (véase la figura).

Recordemos que un plano vertical tiene la forma

$$ ax + by = c \tag{2} $$

y que, generalmente, las secciones transversales de una superficie $z = f(x,y)$ son las líneas de intersección con los planos verticales. Normalmente, los planos verticales se toman como $x$ es constante, o $y$ es constante. Para la superficie, $z$ Esto da las secciones transversales:

$$f(x,c) = \frac52 + {1\over200}(9x^2 - 4c^2)$$ $$ f(c,y) = \frac52 + {1\over200}(9c^2 - 4y^2)$$

que son parábolas. Dado que las viguetas se cortan a partir de piezas de madera rectas, éstas no son útiles.

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a) ¿Qué valores de $a$ , $b$ y $c$ se puede elegir en la ecuación $(2)$ tal que las secciones transversales de $(1)$ ¿son líneas rectas en el espacio tridimensional? Da la ecuación general de la sección transversal en la forma:

$$\mathbf r(\lambda) = \mathbf r_0 +\lambda \mathbf v$$

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b) Cada viga $J_k$ , $k = 1, \dots, 9$ es tener un extremo unido a la posición $P_k$ y el otro extremo unido a la posición $Q_k$ en el espacio tridimensional. En concreto, el $P_k$ están dadas por:

$$ \begin{align} P_1 &= (-6, 3, f(-6, 3)) \\ P_2 &= (-6, 0, f(-6, 0)) \\ P_3 &= (-6, -3, f(-6, -3)) \\ P_4 &= (-6, -6, f(-6, -6)) \\ P_5 &= (-4, -6, f(-4, -6)) \\ P_6 &= (-2, -6, f(-2, -6)) \\ P_7 &= (0, -6, f(0, -6)) \\ P_8 &= (2, -6, f(2, -6)) \\ P_9 &= (4, -6, f(4, -6)) \end{align} $$

Determinar los otros puntos finales $Q_k$ de tal manera que cada viga $J_k$ se encuentra en la superficie $f(x,y)$ y el $x$ y $y$ coordenadas de cada $Q_k$ se encuentran en la frontera del dominio $[-6, 6] \times [-6, 6]$ .

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c) Calcule la longitud de cada viga. (Dé la respuesta correcta con dos decimales).

Answer 1

Voy a dar una pista para la primera parte para que empieces. Debes saber que no es de buena forma hacer tantas preguntas en el mismo post. A este foro no le gustan los posts que son preguntas de tarea copiadas. Aquí tienes una guía rápida sobre cómo hacer una buena pregunta

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Nuestra función tiene la forma general $$ f(x,y) = Ax^2 - By^2 + C $$ donde $A,B,C$ son constantes positivas conocidas

Dado que un plano vertical sólo se da en términos de $x$ y $y$ es una buena idea poner una en términos, de la otra, por lo que podemos reescribir $(2)$ como $y = px + q $ donde $p = -a/b$ , $q = c/b$

Si se introduce esto, se obtiene $$ z = f(x,px+q) = C + Ax^2 - B(px+q)^2 = (A-Bp^2)x^2 - 2Bpqx + (C-Bq^2) $$

Se desea que esta sección transversal sea lineal, lo que significa que el $x^2$ los coeficientes deben ser cero, por lo que tenemos $$ A - Bp^2 = 0 $$

Esto le da un valor para $p$ que es la "pendiente" del plano vertical. No hay restricciones en $q$

En cuanto a la forma paramétrica, observe que todo está ya en términos de $x$ por lo que una posible parametrización es $(x,y,z) = (\lambda,p\lambda+q,f(\lambda,p\lambda+q))$

Si tienes un punto específico en esta sección transversal, es fácil encontrar el valor de $q$ (ya que $(2)$ es siempre válida y ya sabe lo que $p$ es). En realidad hay dos soluciones que pasan por el mismo punto, ya que tienes dos valores diferentes para $p$ .