Si $A$ es un subconjunto no denso de un espacio topológico $X$ entonces $X\setminus A$ es denso en $X$ .

Question

Si $A$ es un subconjunto no denso de un espacio topológico $X$ entonces $X-A$ es denso en $X$ .

$(\overline{A})^\circ = \emptyset$ ( $\because$ $A$ no es denso en ninguna parte).

Queremos demostrarlo, $\overline{X-A}=X$

¿Cómo puedo demostrar para un espacio topológico arbitrario? Por favor, ayúdenme. Si usted tiene soluciones alternativas cortas, por favor, comparta conmigo.

Answer 1

Dejemos que $(X,\tau)$ un espacio topológico arbitrario y $A\subseteq X$ no eran densos. Para cualquier conjunto abierto $V$ en $X$ tenemos que $V\cap X\setminus A\neq\emptyset$ porque $(\bar{A})^\circ$ está vacío (Esto implica que $A$ no contiene conjuntos abiertos). Por lo tanto, $X\setminus A$ es denso en la topología de $X$ .