El título es bastante autoexplicativo, pero dada una función $f:D \to \mathbb{C}$ , donde $D \subset \mathbb{C}$ un disco abierto que contiene $0$ sobre la cual $f$ es holomorfa, ¿es posible que $f(x) \equiv C$ para todos $x \in D \cap \mathbb{R}$ ?
Edición: Obviamente, esta pregunta sólo tiene sentido si $f$ no es constante en $D$ .
No; por el teorema de la identidad $f$ no puede diferir de la función constante $C$ .
Puede asumir que la línea es la $x$ -eje, escriba $h(x,y)=f(x,y)+ig(x,y)$ , usted tiene $h(x,0)=f(x,0)+ig(x,0)$ es constante. Esto implica que $\partial_xf(x,0)=\partial_yg(x,0)=0$ Las ecuaciones de Cauchy Riemann dan
$\partial_xf(x,0)=\partial_yg(x,0)$ y $\partial_yf(x,0)=-\partial_xg(x,0)$ Esto implica que $\partial_yg(x,0)=\partial_yf(x,0)=0$ . Esto implica que el diferencial de $h$ es $0$ en el $x$ -eje. Se puede repetir el argumento de la función holomorfa $dh$ ...y deducir que $d^nh(x,0)=0$ . Esto implica que la serie de Laurent en un punto de la $x$ -eje es cero. Esto implica que $f$ es constante en una vecindad de un punto de un $x$ -eje, y en lo sucesivo es constante.
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