Parametrización de los acantilados

Question

Estoy buscando una función $f(x; \alpha, X_1, X_2, Y_1, Y_2)$ que tiene la siguiente propiedad: Para $\alpha=0$ se comporta linealmente entre $(X_1, Y_1)$ y $(X_2, Y_2)$ y como $\alpha$ se acerca a 1, se aproxima a un acantilado agudo, como en la figura siguiente. No es necesario definir la función para $\alpha=1$ .

¿Existe alguna función relativamente "sencilla" (trigonométricas, potencias, logaritmos y exponenciales están bien) que capte este comportamiento?

Answer 1

Considere la función $$f(x)=\left(1-x-\frac{1}{x} \right)(1-\alpha)^2+\frac{1-\alpha}{x}$$ en $[0,1]$ . Cuando $\alpha=0$ tenemos $f(x)=1-x$ . Como $\alpha \uparrow 1$ El gráfico se aproxima a un ángulo recto (prueba a trazarlo tú mismo con Wolfram Alpha). Una versión transformada de esta función debería funcionar para tu ejemplo.

Answer 2

La ecuación lineal viene dada por

$$\frac{x - x_1}{\lvert x_2 - x_1\rvert} + \frac{y - y_2}{\lvert y_1 - y_2\rvert} = 1.$$

Podemos obtener curvas sucesivamente más "nítidas" utilizando

$$\left(\frac{x - x_1}{\lvert x_2 - x_1\rvert}\right)^{k} + \left(\frac{y - y_2}{\lvert y_1 - y_2\rvert}\right)^k = 1$$ para los enteros $k \geq 1$ utilizando una mayor $k$ .

Aquí están los gráficos para $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ a través de los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ :

Para $k = 1$ tenemos la ecuación lineal. Para $k = 2$ Es un cuarto de elipse.

Desafortunadamente, no estoy seguro de cómo traducir mi parámetro de entero positivo $k$ -valores en el parámetro $\alpha \in [0, 1)$ . Dejaré esto aquí por ahora, y pensaré en ello.

EDIT: Parece que el uso de $k = \dfrac{1+ \alpha}{1 - \alpha}$ para el exponente funciona bastante bien.

Aquí hay una imagen con $\alpha \in \{0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9\}$ :

Y si en su lugar se utiliza la función

$$\left\lvert\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\right\rvert^{k} + \left\lvert\frac{y - y_2}{y_1 - y_2}\right\rvert^k = 1,\quad \alpha = \frac{1 + \alpha}{1 - \alpha} \in [0, 1),$$

se obtiene algo que se comporta bastante bien, independientemente de que $x_1 < x_2$ etc. Ahora estos están entre los puntos $(x_1, y_1) = (0, 2)$ y $(x_2, y_2) = (3, 4)$ con algunos puntos extra:

Answer 3

La distribución beta es la uniforme cuando $\alpha$ y $\beta$ son ambos iguales a 1, y se vuelve progresivamente "más agudo" a medida que cambian los parámetros. Por lo tanto, si deja que $B(\alpha, \beta)$ representan la FCD de la beta y dejemos que $a$ sea el alfa de su ecuación, para evitar confusiones y que $y$ sea $\frac{x - X2}{X1 - X2}$ lo siguiente puede funcionar: $$ f(y;a, X_1, X_2, Y_1, Y_2) = \left(B\left(1 + \frac{a}{1-a}, 1\right)\biggr\rvert_0^1\cdot\frac{Y_1-Y_2}{X_1-X_2}\right)\cdot\left(X1 - X_2\right) + Y_1 $$